Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai đường cao BE, CF của \(\Delta ABC\) cắt
Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai đường cao BE, CF của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng: \(AF.AB = AE.AC\)
c) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn tâm O. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn.
Ta có:
\(BE\) là đường cao nên \(BE \bot AC \Rightarrow \angle BEC = {90^0}\)
\(CF\) là đường cao nên \(CF \bot AB \Rightarrow \angle BFC = {90^0}\)
Xét tứ giác \(BFEC\) có:
\(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\) nên \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)
Vậy tứ giác \(BFEC\) nội tiếp (đpcm).
b) Chứng minh rằng: \(AF.AB = AE.AC\)
Theo câu a, \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle BFE + \angle BCE = {180^0}\) (tính chất)
Mà \(\angle BFE + \angle AFE = {180^0}\) (kề bù)
Nên \(\angle BCE = \angle BCA = \angle AFE\)
Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\angle A\) chung
\(\angle AFE = \angle ACB\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AFE \sim \Delta ACB\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow AF.AB = AE.AC\) (đpcm)
c) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn tâm O. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
\(AD\) là đường kính nên \(\angle ACD = \angle ABD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow DC \bot AC,DB \bot AB\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\\BH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow DC//BH\) (từ vuông góc đến song song)
\(\left\{ \begin{array}{l}DB \bot AB\\CH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow DB//CH\) (từ vuông góc đến song song)
Tứ giác \(BHCD\) có: \(DC//BH,DB//HC\) nên là hình bình hành. (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
