Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 2mx - 5}}{{x - 1}}\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường thẳng \(\Delta :\,\,y = 2x\).

Câu 425531: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 2mx - 5}}{{x - 1}}\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường thẳng \(\Delta :\,\,y = 2x\).

A. \(m \in \left( { - 2 - \sqrt 6 ; - 2 + \sqrt 6 } \right)\)

B. \(m \in \left( {2 - 2\sqrt 6 ;2 + 2\sqrt 6 } \right)\)

C. \(m \in \left( {2 - \sqrt 6 ;2 + \sqrt 6 } \right)\)

D. \(m \in \left( { - 2 - 2\sqrt 6 ; - 2 + 2\sqrt 6 } \right)\)

Câu hỏi : 425531

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

+ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường thẳng \(\Delta :\,\,y = 2x \Leftrightarrow 2x - y = 0\).

\( \Rightarrow \left( {2{x_1} - {y_1}} \right)\left( {2{x_2} - {y_2}} \right) < 0\,\,\left( * \right)\).

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

+ Sử dụng định lí Vi-ét.

Đáp án : D
(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - {x^2} + 2mx - 5}}{{x - 1}}\\y' = \dfrac{{\left( { - 2x + 2m} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2mx - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{ - {x^2} + 2x - 2m + 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2m + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 - 2m + 5 > 0\\ - 1 + 2 - 2m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 6 > 0\\ - 2m + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\).

+ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường thẳng \(\Delta :\,\,y = 2x \Leftrightarrow 2x - y = 0\).

\( \Rightarrow \left( {2{x_1} - {y_1}} \right)\left( {2{x_2} - {y_2}} \right) < 0\,\,\left( * \right)\).

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: \(y = - 2x + 2m\).

Thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {2{x_1} + 2{x_1} - 2m} \right)\left( {2{x_2} + 2{x_2} - 2m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {2{x_1} - m} \right)\left( {2{x_2} - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x_1} - m} \right)\left( {2{x_2} - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 4{x_1}{x_2} - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} < 0\end{array}\)

+ Áp dụng định lí Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {2m - 5} \right) - 4m + {m^2} < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 20 < 0\\ \Leftrightarrow - 2 - 2\sqrt 6 < m < - 2 + 2\sqrt 6 \end{array}\)

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow - 2 - 2\sqrt 6 < m < - 2 + 2\sqrt 6 \).

Vậy \(m \in \left( { - 2 - 2\sqrt 6 ; - 2 + 2\sqrt 6 } \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.