Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{m{x^2} + 3mx + 1}}{{x + 2}}\) có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.

Câu 425530: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{m{x^2} + 3mx + 1}}{{x + 2}}\) có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.

A. \(0 \le m \le \dfrac{1}{6}\)

B. \(0 < m < \dfrac{1}{6}\)

C. \(m > \dfrac{1}{6}\)

D. \(m < 0\)

Câu hỏi : 425530

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

+ Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung \( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} < 0\).

+ Sử dụng định lí Vi-ét.

Đáp án : B
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{m{x^2} + 3mx + 1}}{{x + 2}}\\y' = \dfrac{{\left( {2mx + 3m} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {m{x^2} + 3mx + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{m{x^2} + 4mx + 6m - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = m{x^2} + 4mx + 6m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = 4{m^2} - m\left( {6m - 1} \right) > 0\\4m - 8m + 6m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 2{m^2} + m > 0\\2m - 1 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne \dfrac{1}{2}\\0 < m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{1}{2}\).

+ Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung \( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} < 0\).

Theo định lí Vi-ét: \({x_1}{x_2} = \dfrac{{6m - 1}}{m} < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{1}{6}\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 0 < m < \dfrac{1}{6}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.