Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 2\left( {m + 1}

Câu hỏi số 425532:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m}}{{x + 2}}\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) thỏa mãn \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\).

A. \(m = - 4 \pm 2\sqrt 6 \)

B. \(m = - 4 + 2\sqrt 6 \)

C. \(m = - 4 - 2\sqrt 6 \)

D. \(m = 4 \pm 2\sqrt 6 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425532

Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

+ Xác định tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+ \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\).

+ Sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m}}{{x + 2}}\\y' = \dfrac{{\left[ {2x + 2\left( {m + 1} \right)} \right]\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = {x^2} + 4x + 4 - {m^2} = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 4 + {m^2} > 0\\4 - 8 + 4 - {m^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} > 0\\{m^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\).

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: \(y = 2x + 2\left( {m + 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(A\left( {{x_1};2{x_1} + 2\left( {m + 1} \right)} \right)\), \(B\left( {{x_2};2{x_2} + 2\left( {m + 1} \right)} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {{x_1};2{x_1} + 2\left( {m + 1} \right)} \right)\), \(\overrightarrow {OB} = \left( {{x_2};2{x_2} + 2\left( {m + 1} \right)} \right)\).

+ \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\).

\( \Rightarrow {x_1}{x_2} + 4{x_1}{x_2} + 4\left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4{\left( {m + 1} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

+ Áp dụng định lí Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = 4 - {m^2}\end{array} \right.\).

Thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,5\left( {4 - {m^2}} \right) + 4\left( {m + 1} \right).\left( { - 4} \right) + 4{\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 20 - 5{m^2} - 16m - 16 + 4{m^2} + 8m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - {m^2} - 8m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = - 4 \pm 2\sqrt 6 \,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = - 4 \pm 2\sqrt 6 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.