Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m + 1}}{{x + 1}}\). Tìm tất cả các giá trị

Câu hỏi số 425533:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m + 1}}{{x + 1}}\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn diện tích \(\Delta OAB\) bằng 2. Với giá trị m tìm được, hãy tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB.

A. \(m = 1,\,\,m = - 3,\,\,d = 2\sqrt 5 \)

B. \(m = 1,\,\,m = - 3,\,\,d = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)

C. \(m = - 1,\,\,m = 3,\,\,d = 2\sqrt 5 \)

D. \(m = - 1,\,\,m = 3,\,\,d = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425533

Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tính \(y'\) và tìm 2 điểm cực trị của hàm số.

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Từ đó xác định tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+ Sử dụng công thức: \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;AB} \right).AB\), giải phương trình tìm \(m\).

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m + 1}}{{x + 1}}\\y' = \dfrac{{\left( {2x + m + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị với mọi \(m\).

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: \(y = 2x + m + 1\).

\( \Rightarrow \) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(A\left( {0;m + 1} \right)\), \(B\left( { - 2;m - 3} \right)\).

+ Ta có: \(d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }}\), \(AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).

+ \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;AB} \right).AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }}.2\sqrt 5 = \left| {m + 1} \right|\)

\( \Rightarrow \left| {m + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 2\\m + 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 3\).

Theo chứng minh trên ta có \(d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }}\).

Với \(m = 1\) \( \Rightarrow d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Với \(m = - 3 \Rightarrow d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy \(d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.