Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx + 2}}{{x + 1}}\)

Câu hỏi số 425534:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx + 2}}{{x + 1}}\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) thỏa mãn khoảng cách từ hai điểm đến \(\Delta :\,\,x + y + 2 = 0\) là bằng nhau.

A. \(m = 2\)

B. \(m = - \dfrac{1}{2}\)

C. \(m = - 2\)

D. \(m = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425534

Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Từ đó xác định tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+ Giải phương trình \(d\left( {A;\Delta } \right) = d\left( {B;\Delta } \right)\) tìm \(m\).

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + 2mx + 2}}{{x + 1}}\\y' = \dfrac{{\left( {2x + 2m} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2mx + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 2x + 2m - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \( \Rightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = {x^2} + 2x + 2m - 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 - 2m + 2 > 0\\1 - 2 + 2m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 2m > 0\\2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \dfrac{3}{2}\).

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: \(y = 2x + 2m\).

\( \Rightarrow \) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(A\left( {{x_1};2{x_1} + 2m} \right)\), \(B\left( {{x_2};2{x_2} + 2m} \right)\).

+ \(d\left( {A;\Delta } \right) = d\left( {B;\Delta } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {{x_1} + 2{x_1} + 2m + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {{x_2} + 2{x_2} + 2m + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left| {3{x_1} + 2m + 2} \right| = \left| {3{x_2} + 2m + 2} \right|\\ \Leftrightarrow 3{x_1} + 2m + 2 = - \left( {3{x_2} + 2m + 2} \right)\,\,\left( {Do\,\,{x_1} \ne {x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4m + 4 = 0\end{array}\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - 2\).

\( \Rightarrow - 6 + 4m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.