Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 2}}\)

Câu hỏi số 425535:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 2}}\) có hai điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + 6\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right) = 0\).

A. \(m = 2\)

B. \(m = 6\)

C. \(m = 2,\,\,m = 6\)

D. \(m = - 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425535

Phương pháp giải

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

+ Sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 2}}\\y' = \dfrac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + mx + m} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 4x + m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \( \Rightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = {x^2} + 4x + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - m > 0\\4 - 8 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 4\).

+ Áp dụng định lí Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).

+ Theo bài ra: \({x_1},\,\,{x_2} \ne 0 \Rightarrow m \ne 0\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 + 6\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + \dfrac{{6\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 16 - 2m + \dfrac{{ - 24}}{m} = 0\\ \Leftrightarrow - 2{m^2} + 16m - 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.