Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(4a\),  \(SA\)  vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \({30^0}\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng:

Câu 425915: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(4a\),  \(SA\)  vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \({30^0}\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng:

A. \(52\pi {a^2}\)

B. \(\dfrac{{172\pi {a^2}}}{3}\)

C. \(\dfrac{{76\pi {a^2}}}{9}\)

D. \(\dfrac{{76\pi {a^2}}}{3}\)

Câu hỏi : 425915

Phương pháp giải:

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là giao điểm của trục của mặt đáy và cạnh bên \(SA\).


- Sử dụng tính chất tam giác đều, định lí Pytago tính bán kính \(R\) của mặt cầu.


- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).

  • Đáp án : D
    (6) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\), \(d\) là đường thẳng qua \(G\) và song song với \(SA\) \( \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\).

    Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(G\) cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), do đó đường thẳng \(d\) là trục của \(\left( {ABC} \right)\).

    Kẻ đường thẳng vuông góc với \(SA\) tại trung điểm \(P\) của \(SA\), cắt đường thẳng \(d\) tại \(I\).

    Ta có: \(PI\) là trung trực của \(SA\) nên \(IS = IA\).

                \(I \in d\) nên \(IA = IB = IC\).

    \( \Rightarrow IS = IA = IB = IC.\)

    Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) có tâm \(I\), bán kính \(R = IA\).

    Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(4a\) nên \(AM = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 3 \).

    \( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.2a\sqrt 3  = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).

    Vì \(AGIP\) là hình chữ nhật nên \(AG = IP = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).

    Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).

    \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA = {30^0}\).

    \( \Rightarrow SA = AM.\tan {30^0} = 2a\sqrt 3 .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = 2a\) \( \Rightarrow AP = a\).

    Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(API\) có: \(IA = \sqrt {I{P^2} + A{P^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{3}\).

    Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là: \(S = 4\pi .I{A^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt {57} }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{76\pi {a^2}}}{3}\).

    Chọn D.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com