Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm

Câu hỏi số 425916:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\) là:

A. \(\dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} + 3} }} + C\)

B. \(\dfrac{{x + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + 3} }} + C\)

C. \(\dfrac{{2{x^2} + x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} + C\)

D. \(\dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} + C\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425916

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.\).

- Sau đó sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(\int {g\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int {g\left( x \right)dx} = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - \int {f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 1} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \end{array}\)

Xét nguyên hàm \(\int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 3 \Rightarrow tdt = xdx\).

\( \Rightarrow \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} = \int {\dfrac{{tdt}}{t}} = \int {dt} = t + C = \sqrt {{x^2} + 3} + C\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \dfrac{{{x^2} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - \sqrt {{x^2} + 3} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + x - {x^2} - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.