Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu hỏi số 427401:

Vận dụng

A. \(\exists x,\,\,{x^2} + 3 = 0\)

B. \(\exists x,\,\,{x^4} + 3{x^2} + 2 = 0\)

C. \(\forall x \in \mathbb{Z},\,\,{x^5} > {x^2}\)

D. \(\forall x \in \mathbb{N},\,\,\left( {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427401

Phương pháp giải

Mệnh đề \(\forall x \in R,\,\,P\left( x \right)\) đúng khi và chỉ khi thay một giá trị \(x\) bất kì trong tập xác định ta đều thu được mệnh đề đúng, còn mệnh đề sai ta chỉ cần chỉ ra một giá trị của \(x\) trong tập xác định mà làm cho mệnh đề sai.

Mệnh đề \(\exists x \in R,\,\,P\left( x \right)\) đúng khi và chỉ khi ta chỉ ra một giá trị \(x\) nằm trong tập xác định làm cho mệnh đề đúng, còn mệnh đề sai ta cần chứng minh nó sai với mọi giá trị \(x\) nằm trong tập xác định.

Giải chi tiết

+) Xét mệnh đề “\(\exists x,\,\,{x^2} + 3 = 0\)”

\({x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 3\)\( \Rightarrow \) Không tồn tại giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^2} + 3 = 0\).

\( \Rightarrow \) “\(\exists x,\,\,{x^2} + 3 = 0\)” là mệnh đề sai.

+) Xét mệnh đề “\(\exists x,\,\,{x^4} + 3{x^2} + 2 = 0\)”

\({x^4} + 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + \dfrac{3}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + \dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\\{x^2} + \dfrac{3}{2} = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1\\{x^2} = - 2\end{array} \right.\) (loại)

\( \Rightarrow \) Không tồn tại giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^4} + 3{x^2} + 2 = 0\).

\( \Rightarrow \) “\(\exists x,\,\,{x^4} + 3{x^2} + 2 = 0\)” là mệnh đề sai.

+) Xét mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{Z},\,\,{x^5} > {x^2}\)”

Với \(x = - 1\) ta có: \({x^5} = {\left( { - 1} \right)^5} = - 1\) và \({x^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\).

\( \Rightarrow {x^5} < {x^2}\)

\( \Rightarrow \) “\(\forall x \in \mathbb{Z},\,\,{x^5} > {x^2}\)” là mệnh đề sai.

+) Xét mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{N},\,\,\left( {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\)”

Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^2} - 1 = 4x\left( {x + 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\) với \(\forall x \in \mathbb{N}\).

\( \Rightarrow \) “\(\forall x \in \mathbb{N},\,\,\left( {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\)” là mệnh đề đúng.

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10