Tính tích phân: I = dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 42761:

Tính tích phân: I = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{\sqrt{3}+tanx.ln(1+cosx)}{cosx}$ dx

A. I = ln(√3 + 2) + 2ln $\frac{27}{16}$

B. I = √3ln(√3 + 2) + ln $\frac{27}{16}$

C. I = 2√3ln(√3 + 2) + ln $\frac{27}{16}$

D. I = √3ln(√3 + 2) + 2ln $\frac{27}{16}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42761

Giải chi tiết

Ta có:

I = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{\sqrt{3}}{cosx}$ dx + $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{tanx.ln(1+cosx)}{cosx}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{\sqrt{3}cosx}{cos^{2}x}$ dx + $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{sinx.ln(1+cosx)}{cos^{2}x}$ dx

Tính J = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{\sqrt{3}cosx}{cos^{2}x}$ dx = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{\sqrt{3}cosx}{1-sin^{2}x}$ dx.

Đặt t = sinx => dt = cosx.dx

Đổi cận: Khi x = $\frac{\Pi }{3}$ => t = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; x = 0 => t = 0

J = $\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{\sqrt{3}}{1-t^{2}}$ dt = $\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t})dt$

= $\frac{\sqrt{3}}{2}ln\left | \frac{1+t}{1-t} \right |_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

= = √3ln(√3 + 2)

Tính K = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{3}}\frac{sinx.ln(1+cosx)}{cos^{2}x}$ dx. Đặt t = cosx => dt = -sinx.dx

Đổi cận: Khi x = $\frac{\Pi }{3}$ => t = $\frac{1}{2}$ ; x = 0 => t = 1

K = $\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{ln(1+t)}{t^{2}}$ dt. Đặt u = ln(1 + t) => du = $\frac{1}{1+t}$ dt;

dv = $\frac{1}{t^{2}}$ dt => v = $-\frac{1}{t}$

K = $-\left.\begin{matrix} \frac{1}{t}ln(1+t) \end{matrix}\right|_{\frac{1}{2}}^{1}$ + $\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{t(t+1)}$ dt = ln $\frac{27}{16}$

Vậy I = √3ln(√3 + 2) + ln $\frac{27}{16}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.