Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 16. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai e = biết elip cắt đường tròn (C) tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB song song với trục Ox và AB = 2BC.

Câu hỏi số 42802:

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x²+ y²= 16. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai e = $\frac{1}{2}$ biết elip cắt đường tròn (C) tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB song song với trục Ox và AB = 2BC.

A. $\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{81}{7}}$ = 1

B. $\frac{x^{2}}{\frac{256}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}}$ = 1

C. $\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}}$ = 1

D. $\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{81}{5}}$ = 1

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42802

Giải chi tiết

Giả sử elip có phương trình chính tắc: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 1 (a > b)

Theo đề bài: e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{1}{2}$ <=> $\frac{c^{2}}{a^{2}}$ = $\frac{1}{4}$ <=> $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}$ = $\frac{1}{4}$

<=> b² = $\frac{3}{4}$ a²

Suy ra elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{4y^{2}}{3a^{2}}$ = 1 <=> 3x²+ 4y²= 3a²

Tọa độ các điểm A, B, C, D là nghiệm hệ: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=16\: \: (1)\\ 3x^{2}+4y^{2}=3a^{2} \: \: (2)\end{matrix}\right.$

Vì elip và đường tròn cùng nhận Ox; Oy là trục đối xứng và AB // Ox nên A, B đối xứng nhau qua Oy; C, D đối xứng nahu qua Ox

AB = 2BC nên 2│x│= 2.2│y│ <=> x² = 4y² (3)

Từ (1) và (2) ta tính được: $\left\{\begin{matrix} x^{2}=64-3a^{2}\\ y^{2}=3a^{2}-48 \end{matrix}\right.$

Thay vào (3) ta được: $a^{2}=\frac{256}{15}$

Vậy phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^{2}}{\frac{256}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}}$ = 1

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.