Cho hàm số y= x3 – 2x2 + 3x - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx – cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho A cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.

Câu hỏi số 42811:

Cho hàm số y= $\frac{1}{3}$ x³ – 2x²+ 3x - $\frac{1}{3}$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx – $\frac{1}{3}$ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho A cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.

A. $m=\frac{3}{4}$

B. $m=\frac{5}{4}$

C. $m=\frac{1}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42811

Giải chi tiết

a. Khảo sát và vẽ

+ Tập xác định: D = R

+ Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y’= x²- 4x + 3; y’ = 0 <=> x = 3 hoặc x = 1

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 1) và (3; +∞), nghịch biến trên khoảng (1; 3)

Cực trị : hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 => y_CT= - $\frac{1}{3}$ ; đạt cực đại tại x = 1

=> y_CĐ= 1

Giới hạn: $\lim_{x\to-\infty }$ y = -∞; $\lim_{x\to+\infty }$ y = + ∞

Hàm số không có tiệm cận

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đi qua các điểm (0; - $\frac{1}{3}$ ); (4; 1); nhận I(2; $\frac{1}{3}$ ) làm điểm uốn.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$ : y = mx - $\frac{1}{3}$ và (C)

$\frac{1}{3}$ x³ – 2x²+ 3x - $\frac{1}{3}$ = mx - $\frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow$ x(x²- 6x + 9 - 3m) = 0 (1)

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x^{2}-6x+9-3m=0 \end{matrix}$

Với x = 0 => y = - $\frac{1}{3}$ => A(0; - $\frac{1}{3}$ )

Đường thẳng $\Delta$ : y = mx - $\frac{1}{3}$ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C

$\Leftrightarrow$ (1) có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ Phương trình x²- 6x + 9 - 3m = 0 (2) có 3 nghiệm phân biệt x₁, x₂ khác 0

<=> ∆ > 0 và 9 - 3m ≠ 0

<=> 3m > 0 và m ≠ 3

<=> m > 0 và m ≠ 3

Khi đó B $\left ( x_{1};mx_{1}-\frac{1}{3} \right )$ ; C $\left ( x_{2};mx_{2}-\frac{1}{3} \right )$

$S_{OBC}=2S_{OAB}\Leftrightarrow \frac{1}{2}d(O,\Delta )BC=2.\frac{1}{2}d(O,\Delta ).AB$

<=> BC = 2.AB $\Leftrightarrow$ BC²= 4AB²

$\Leftrightarrow$ (x₂- x₁)² + m²(x₂- x₁)² = 4(x₁²+ m²x₂²)

$\Leftrightarrow$ (m²+ 1) (x₂- x₁)²= 4(m²+ 1)x₁² (x₂- x₁)²= 4x₁²

X₂= 3x₁ (3) ( vì x₂+ x₁= 6)

Mà x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² – 6x + 9 - 3m = 0 nên:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=6\\ x_{1}x_{2}=9-3m \end{matrix}\right.$ (4)

Từ (3) và (4) => m $\Rightarrow m=\frac{3}{4}$ (thỏa mãn)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.