Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: có một acgumen bằng và │z│=│2

Câu hỏi số 42809:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: $\frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i}$ có một acgumen bằng $-\frac{\Pi }{6}$ và │z│=│2 $\bar{z}$ - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .

A. z = √3 + i

B. z = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ + $\frac{1}{3}$ i

C. z = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ + $\frac{1}{5}$ i

D. cả A và B

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42809

Giải chi tiết

Ta có: $\frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i}$

= $\frac{1+i}{(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}}$ [(1 - √3) - (1 + √3)i]

= $\frac{1-\sqrt{3}i}{4}$ = $\frac{1}{2}\left$ ( $\frac{1}{2}\left$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i) = $\frac{1}{2}\left$ [cos(- $\frac{\Pi }{3}$ ) + i.sin(- $\frac{\Pi }{3}$ )]

Đặt z = r(cos $\varphi$ + isin $\varphi$ ); r > 0

Khi đó: $\frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i}z=\frac{r}{2}\left [ cos\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right )+isin\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right ) \right ]$

Theo đề bài ta có: $\varphi -\frac{\Pi }{3}=-\frac{\Pi }{6}\Rightarrow z=\frac{r.\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i$

Từ giả thiết của bài toán ta có: $\left | \frac{r\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i \right |=\left | \sqrt{3}r-ri-\sqrt{3}+i \right |$

<=> $\left ( \frac{\sqrt{3}r}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{r}{2} \right )^{2}$ = 3.(r - 1)² + (r - 1)² <=> $\begin{bmatrix} r=2\\ r=\frac{2}{3} \end{matrix}$

Vậy có 2 số phức z = √3 + i hoặc z = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ + $\frac{1}{3}$ i

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.