Để phương trình \({\sin ^2}x + 2\left( {m + 1} \right)\sin x - 3m\left( {m - 2} \right) = 0\) có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số \(m\) là:

Câu 428562: Để phương trình \({\sin ^2}x + 2\left( {m + 1} \right)\sin x - 3m\left( {m - 2} \right) = 0\) có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số \(m\) là:

A. \(\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{2} \le m < \dfrac{1}{2}\\1 \le m \le 2\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{3} \le m \le \dfrac{1}{3}\\1 \le m \le 3\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l} - 2 \le m \le - 1\\0 \le m \le 1\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 \le m \le 1\\3 \le m \le 4\end{array} \right.\)

Câu hỏi : 428562

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Tính biệt thức \(\Delta '\), giải phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Xét 2 TH: Phương trình có nghiệm kép, phương trình có 2 nghiệm phân biệt, trong mỗi trường hợp giải bất phương trình \( - 1 \le t \le 1\) tìm \(m\).

Đáp án : B
(15) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sin x\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\), phương trình trở thành \({t^2} + 2\left( {m + 1} \right)t - 3m\left( {m - 2} \right) = 0\) (*).

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Xét phương trình (*) có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + 3m\left( {m - 2} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 = {\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\).

Do đó phương trình (*) có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - m - 1 + 2m - 1}}{1} = m - 2\\{t_2} = \dfrac{{ - m - 1 - 2m + 1}}{1} = - 3m\end{array} \right.\).

TH1: \({t_1} = {t_2} \Leftrightarrow m - 2 = - 3m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nghiệm kép \({t_1} = {t_2} = - \dfrac{3}{2}\) không thỏa mãn điều kiện \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow m = \dfrac{1}{2}\) loại.

TH2: \({t_1} \ne {t_2} \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\).

Khi đó phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le m - 2 \le 1\\ - 1 \le - 3m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le m \le 3\\ - \dfrac{1}{3} \le m \le \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.