Tìm \(m\) để phương trình \(2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + \cos 4x + 2\sin 2x - m = 0\) có

Câu hỏi số 428598:

Vận dụng

Tìm \(m\) để phương trình \(2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + \cos 4x + 2\sin 2x - m = 0\) có nghiệm trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\).

A. \( - 2 \le m \le \dfrac{{10}}{3}\)

B. \( - 2 < m < \dfrac{{10}}{3}\)

C. \( - \dfrac{{10}}{3} \le m \le 2\)

D. \( - \dfrac{{10}}{3} < m < 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428598

Phương pháp giải

- Biến đổi, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Đặt \(t = \sin 2x\), tìm điều kiện của \(t\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(g\left( t \right) = m\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) và tìm điều kiện của \(m\) để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + \cos 4x + 2\sin 2x - m = 0\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right] + 1 - 2{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - m = 0\\ \Leftrightarrow 2 - {\sin ^2}2x + 1 - 2{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - m = 0\\ \Leftrightarrow - 3{\sin ^2}2x + 2\sin 2x + 3 - m = 0\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}2x - 2\sin 2x + m - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \sin 2x\), với \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0;\pi } \right]\) \( \Rightarrow \sin 2x \in \left[ {0;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\).

Khi đó phương trình (*) trở thành: \(3{t^2} - 2t + m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3{t^2} + 2t + 3\,\,\left( {**} \right)\), với \(t \in \left[ {0;1} \right]\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = - 3{t^2} + 2t + 3\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (**) có nghiệm \(t \in \left[ {0;1} \right]\) khi và chỉ khi \( - 2 \le m \le \dfrac{{10}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.