Cho phương trình \(m\sin x + \left( {m + 1} \right)\cos x = \dfrac{m}{{\cos x}}\). Số các giá trị nguyên

Câu hỏi số 428980:

Vận dụng

Cho phương trình \(m\sin x + \left( {m + 1} \right)\cos x = \dfrac{m}{{\cos x}}\). Số các giá trị nguyên dương của \(m\) nhỏ hơn 10 để phương trình có nghiệm là:

A. \(8\)

B. \(9\)

C. \(10\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428980

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

- Đưa phương trình về dạng \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\).

- Phương trình \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\cos x \ne 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,m\sin x + \left( {m + 1} \right)\cos x = \dfrac{m}{{\cos x}}\\ \Leftrightarrow m\sin x\cos x + \left( {m + 1} \right){\cos ^2}x = m\\ \Leftrightarrow \dfrac{m}{2}\sin 2x + \left( {m + 1} \right).\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = m\\ \Leftrightarrow m\sin 2x + \left( {m + 1} \right)\cos 2x + m + 1 = 2m\\ \Leftrightarrow m\sin 2x + \left( {m + 1} \right)\cos 2x = m - 1\end{array}\)

Phương trình trên có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} \ge {\left( {m - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} + {m^2} + 2m + 1 \ge {m^2} - 2m + 1\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện đề bài \(m\) là số nguyên dương nhỏ hơn 10 \( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;...;9} \right\}\).

Vậy có 9 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.