Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}}\) với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng?
Câu 429594: Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}}\) với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng?
A. \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{4}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{2}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3}\)
C. \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{2}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
D. \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{4}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3}\)
Áp dụng BĐT Cô-si.
-
Đáp án : D(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta thấy \(2 - \cos x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) và \(1 + \cos x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {2 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)} }}\).
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\sqrt {\left( {2 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)} \le \dfrac{{2 - \cos x + 1 + \cos x}}{2} = \dfrac{3}{2}\).
\( \Rightarrow y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}} \ge \dfrac{2}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{4}{3}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2 - \cos x = 1 + \cos x \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \).
Mà \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3}\).
Vậy \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{4}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com