Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}}\) với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}}

Câu hỏi số 429594:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}}\) với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng?

A. \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{4}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

B. \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{2}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3}\)

C. \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{2}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

D. \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{4}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:429594

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta thấy \(2 - \cos x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) và \(1 + \cos x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {2 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)} }}\).

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\sqrt {\left( {2 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)} \le \dfrac{{2 - \cos x + 1 + \cos x}}{2} = \dfrac{3}{2}\).

\( \Rightarrow y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}} \ge \dfrac{2}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{4}{3}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2 - \cos x = 1 + \cos x \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \).

Mà \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3}\).

Vậy \(\mathop {min}\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{4}{3}\)khi \(x = \dfrac{\pi }{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.