Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \({\tan ^{2018}}x + {\cot ^{2018}}x = 2{\sin ^{2017}}\left( {x +

Câu hỏi số 429855:

Vận dụng cao

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \({\tan ^{2018}}x + {\cot ^{2018}}x = 2{\sin ^{2017}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\) có dạng \(\dfrac{{\pi a}}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên, \(a > 0\) và \(a,\,\,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(S = a.b\).

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(6\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:429855

Phương pháp giải

- Áp dụng BĐT Cô-si chứng minh \(VP \ge 2\), chứng minh \( - 2 \le VT \le 2\).

- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, giải phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\).

Khi đó ta có \({\tan ^{2018}}x > 0,\,\,{\cot ^{2018}}x > 0\).

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \({\tan ^{2018}}x\) và \({\cot ^{2018}}x\) ta có:

\({\tan ^{2018}}x + {\cot ^{2018}}x \ge 2\sqrt {{{\tan }^{2018}}x.{{\cot }^{2018}}x} = 2\) (vì \(\tan x.\cot x = 1\)).

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\, - 1 \le \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - 1 \le {\sin ^{2017}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - 2 \le 2{\sin ^{2017}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 2\end{array}\)

\(VT \ge 2,\,\,VP \le 2\), do đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\tan x = \cot x\\\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\tan ^2}x = 1\\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x = 1\\x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).

Xét \(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{8},\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow \) Số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(k = 0\).

Suy ra, nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \dfrac{\pi }{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{a\pi }}{b} = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right.\).

Vậy \(S = a.b = 1.4 = 4\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.