Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn \(\dfrac{{\sin A + sinB}}{{\cos A + \cos B}} = \dfrac{1}{2}\left( {\tan A + \tan B}

Câu hỏi số 429854:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn \(\dfrac{{\sin A + sinB}}{{\cos A + \cos B}} = \dfrac{1}{2}\left( {\tan A + \tan B} \right)\) thì:

A. Tam giác \(ABC\) cân.

B. Tam giác \(ABC\) vuông.

C. Tam giác \(ABC\) đều.

D. Tam giác \(ABC\) vuông.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:429854

Phương pháp giải

- VT áp dụng công thức \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\), \(\cos a + cosb = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).

- VP áp dụng công thức \(\tan a = \dfrac{{\sin a}}{{\cos a}}\), \(\sin a\cos b + \cos a\sin b = \sin \left( {a + b} \right)\),

\(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Đánh giá \(VP \ge VT\), tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sin A + \sin B}}{{\cos A + \cos B}} = \dfrac{1}{2}\left( {\tan A + \tan B} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sin \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2}}}{{2\cos \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2}}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin A}}{{\cos A}} + \dfrac{{\sin B}}{{\cos B}}} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \dfrac{{A + B}}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin A\cos B + \sin B\cos A}}{{\cos A\cos B}}\\ \Leftrightarrow \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos A.\cos B}}\\ \Leftrightarrow \cot \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin \left( {\pi - C} \right)}}{{\cos A\cos B}}\\ \Leftrightarrow \cot \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}}\\ \Leftrightarrow \cot \dfrac{C}{2} = \dfrac{{\sin C}}{{\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right)}}\\ \Leftrightarrow \cot \dfrac{C}{2} = \dfrac{{\sin C}}{{\cos \left( {\pi - C} \right) + \cos \left( {A - B} \right)}}\\ \Leftrightarrow \cot \dfrac{C}{2} = \dfrac{{\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) - \sin C}}\end{array}\)

Ta cos:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {A - B} \right) \le 1 \Leftrightarrow \cos \left( {A - B} \right) - \cos C \le 1 - \cos C\\ \Rightarrow \dfrac{{\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) - \cos C}} \ge \dfrac{{\sin C}}{{1 - \cos C}} = \dfrac{{2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2}}}{{2{{\sin }^2}\dfrac{C}{2}}} = \cot \dfrac{C}{2}\end{array}\)

Do đó dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \cos \left( {A - B} \right) = 1 \Leftrightarrow A = B\).

Vậy tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(C\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.