Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm \(AB,CD\,\,;\,\,R \in BC\) sao cho \(BR =
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm \(AB,CD\,\,;\,\,R \in BC\) sao cho \(BR = 2RC.\) Gọi \(S\) là giao điểm của \(\left( {PQR} \right)\) với cạnh \(AD.\) Chứng minh rằng \(AS = 2SD.\)
Quảng cáo
Trong \(\left( {ABC} \right)\) gọi \(PR \cap AC = \left\{ E \right\}\).
Giả sử \(\left( {PQR} \right) \cap AD = \left\{ S \right\}\), khi đó ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {PQR} \right) \cap \left( {ABC} \right) = PR\\\left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = SQ\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow PR,\,\,SQ,\,\,AC\) đồng quy tại \(E\).
Suy ra, \(S = QE \cap AD = \left( {PQR} \right) \cap AD\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\dfrac{{PA}}{{PB}}.\dfrac{{RB}}{{RC}}.\dfrac{{EC}}{{EA}} = 1\) \( \Leftrightarrow 1.2.\dfrac{{EC}}{{EA}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{EC}}{{EA}} = \dfrac{1}{2}\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(ACD\) ta có:
\(\dfrac{{EC}}{{EA}}.\dfrac{{SA}}{{SD}}.\dfrac{{QD}}{{QC}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{SA}}{{SD}}.1 = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = 2\).
Vậy \(SA = 2SD\) (đpcm).
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
