Cho phương trình \({x^2} + bx + c = 0\,\,\,\left( 1 \right);\) \({x^2} - {b^2}x + bc = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

Câu hỏi số 430655:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} + bx + c = 0\,\,\,\left( 1 \right);\) \({x^2} - {b^2}x + bc = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) (trong đó \(x\) là ẩn, \(b,\,\,c\) là các tham số). Biết phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2};\) phương trình (2) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) thỏa mãn điều kiện \({x_3} - {x_1} = {x_4} - {x_2} = 1.\) Xác định \(b\) và \(c.\)

A. \(b = 1,\,\,c = - 1\) hoặc \(b = - 2,c = - 1.\)

B. \(b = -\dfrac{1}{2},\,\,c = - 1\) hoặc \(b = \dfrac{1}{2},c = 1.\)

C. \(b = 1,\,\,c = 1\) hoặc \(b = - 3,c = - \dfrac{1}{3}.\)

D. \(b = 1,\,\,c = - 1\) hoặc \(b = -\dfrac{1}{2}, c = - 3.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430655

Phương pháp giải

Từ mối quan hệ giữa \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) và định lí Vi-ét lập hệ phương trình tìm \(b,c\). Thử lại vào phương trình (1) và (2) để kiểm tra kết quả.

Giải chi tiết

Phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm nên \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4c \ge 0\\{b^4} - 4bc \ge 0\end{array} \right.\).

Vì \({x_3} - {x_1} = {x_4} - {x_2} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_3} = 1 + {x_1}\\{x_4} = 1 + {x_2}\end{array} \right.\).

Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (1) và (2) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - b\\{x_1}{x_2} = c\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = {b^2} = \left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} + 1} \right) = - b + 2\\{x_4}{x_3} = bc = \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_1} + 1 = - b + c + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} + b - 2 = 0\\bc + b - c - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {b - 1} \right)\left( {b + 2} \right) = 0\\\left( {c + 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}c = - 1\\b = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 2\end{array} \right.\\c = - 1\end{array} \right.\).

Nếu \(b = 1\) thì (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = 1 - 4c \ge 0 \Leftrightarrow c \le \dfrac{1}{4}\).

Thử lại:

\((1) \Leftrightarrow {x^2} + x + c = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4c} }}{2}\)

\((2) \Leftrightarrow {x^2} - x + c = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {1 - 4c} }}{2}\).

\( \Rightarrow b = 1,\,\,c = - 1\) thỏa mãn.

Nếu \(b = - 2,c = - 1\) thì:

\((1) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \)

\((2) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) thỏa mãn.

Vậy \(b = 1,\,\,c = - 1\) hoặc \(b = - 2,c = - 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link