Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x - {m^2} = 0,\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để

Câu hỏi số 430659:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x - {m^2} = 0,\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 6\).

A. \(m = -5.\)

B. \(m = -\sqrt 5\) và \(m = 1.\)

C. \(\sqrt 5 \)

D. \(m = 5.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430659

Phương pháp giải

- Chứng minh phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

- Sử dụng hệ thức Vi-ét, bình phương hai vế phương trình đề bài yêu cầu, tìm \(m\) rồi thử lại để loại \(m\) không thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + {m^2}\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\\m \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + {m^2} \ge 0\,\,\forall m\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} = 0\\m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).

Suy ra \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + {m^2} > 0\,\,\forall m.\)

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).

Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4 - 2m\\{x_1}{x_2} = - {m^2}\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 6\\ \Rightarrow {\left( {\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right|} \right)^2} = 36\\ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 36\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Do \({x_1}{x_2} = - {m^2} \le 0 \Rightarrow \left| {{x_1}{x_2}} \right| = - {x_1}{x_2}\).

Thay vào (1) ta có:

\(x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} = 36 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1} + {x_2} = - 6\end{array} \right.\)

- Nếu \({x_1} + {x_2} = 6 \Rightarrow 4 - 2m = 6 \Rightarrow m = - 1\)

- Nếu \({x_1} + {x_2} = - 6 \Rightarrow 4 - 2m = - 6 \Rightarrow m = 5\)

Thử lại:

Với \(m = - 1,\) thay vào ta có phương trình \({x^2} - 6x - 1 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {3^2} + 1 = 10 > 0\), do đó phương trình có 2 nghiệm \({x_1} < {x_2}\) là \({x_1} = 3 - \sqrt {10} ;\,\,{x_2} = 3 + \sqrt {10} \).

Khi đó: \(\left| {3 - \sqrt {10} } \right| - \left| {3 + \sqrt {10} } \right| = - 6\,\,\left( {ktm} \right)\).

Với \(m = 5,\) thay vào ta có phương trình \({x^2} + 6x - 25 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = 9 + 25 = 34 > 0\), do đó phương trình có 2 nghiệm \({x_1} < {x_2}\) là \({x_1} = - 3 - \sqrt {34} ;\,\,{x_2} = - 3 + \sqrt {34} \).

Khi đó: \(\left| { - 3 - \sqrt {34} } \right| - \left| { - 3 + \sqrt {34} } \right| = 6\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = 5.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link