Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} - 2x + 3} \) đồng

Câu hỏi số 433704:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} - 2x + 3} \) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) ?

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(3\)

\(1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:433704

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm, để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Đặt phần theo \(x\) bằng \(t\), đưa bất phương trình về dạng \(at + b \ge 0\).

- Lập BBT hàm số \(t\left( x \right)\), tìm khoảng giá trị \(\left( {a;b} \right)\) của \(t\left( x \right)\).

- Bài toán: \(g\left( t \right) = at + b \ge 0\,\,\forall t \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( a \right) \ge 0\\g\left( b \right) \ge 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

- TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

- Ta có: \(y' = 1 + m.\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( * \right)\)

- Đặt \(t = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\)

\( \Rightarrow t'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - \left( {x - 1} \right).\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}}}{{{x^2} - 2x + 3}} = \dfrac{2}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow t\left( x \right)\) là hàm số đồng biến, ta có BBT hàm số \(t\left( x \right)\) như sau:

\( \Rightarrow \) Khi \(x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\).

Vậy BBT \(\left( * \right) \Leftrightarrow y' = g\left( t \right) = 1 + mt \ge 0,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) \ge 0\\g\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m \ge 0\\1 + m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1\).

Có 3 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.