Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0,\) biết hàm số đạt giá trị lớn nhất

Câu hỏi số 434436:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0,\) biết hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4 khi \(x = - 1\) và tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(y = 0\) bằng 10. Hàm số đã cho là hàm số nào sau đây?

A. \(y = {x^2} + 2x - 3\).

B. \(y = - 2{x^2} - 4x + 2\).

C. \(y = - {x^2} - 2x + 1\).

D. \(y = - {x^2} - 2x + 3\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434436

Phương pháp giải

Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4 khi \(x = - 1\) nên ta có đỉnh \(I\left( { - 1;4} \right)\) được hệ 2 phương trình 3 ẩn \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Sử dụng giả thiết tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(y = 0\) bằng 10 tức \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

Áp dụng định lý Vi-et được phương trình thứ 3 ẩn \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Ta giải hệ 3 phương trình 3 ẩn được \(a,\,\,b,\,\,c\) cần tìm.

Giải chi tiết

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0\) là hàm số bậc 2 nên có đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - b}}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)

Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4 khi \(x = - 1\) nên đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { - 1;4} \right)\) và \(a < 0.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} = - 1\\f\left( { - 1} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - b + c = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - 2a + c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\c = 4 + a\end{array} \right.\)

Xét phương trình: \(y = 0\) \( \Leftrightarrow a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{b}{a}} \right)^2} - \dfrac{{2c}}{a} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{{2a}}{a}} \right)^2} - \dfrac{{2c}}{a} = 10\\ \Leftrightarrow 4a - 2c = 10a\\ \Leftrightarrow 6a + 2c = 0\\ \Leftrightarrow 6a + 2\left( {4 + a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 6a + 2a + 8 = 0\\ \Leftrightarrow a = - 1\,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 3\end{array} \right..\\ \Rightarrow y = - {x^2} - 2x + 3.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.