Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a√3, SB = a. Gọi K là trung điểm của CB. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK.

Câu hỏi số 43475:

A. $V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{7}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}$

B. $V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}$

C. $V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{3}$

D. $V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3};d(SC, DK)=\frac{a}{2}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43475

Giải chi tiết

∆SAB vuông tại S vì SB²+ SA² = a² + 3a²= 4a²= AB²

Kẻ SH vuông góc với AB tại H, ta có:

$\frac{1}{SH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{SB^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}$ => SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\frac{AH}{AB}=\frac{AH.AB}{AB^{2}}=\frac{SA^{2}}{AB^{2}}=\frac{3}{4}$

$\left\{\begin{matrix} (SAB)\perp (ABCD)\\ (SAB)\cap (ABCD)=AB\\ SH\subset (SAB)\\ SH\perp AB \end{matrix}\right$ => SH vuông góc với (ABCD) tại H

Vậy V_S.ABCD= SH.S_ABCD

Mà ABCD là hình chữ nhật có:

$S_{ABCD}=2a^{2}\sqrt{2};SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$

Xét $\overrightarrow{DK}.\overrightarrow{CH}=0\Rightarrow$ DK $\perp$ CH tại E

Mà DK $\perp$ SH => DK $\perp$ mp(SHC) tại E

Kẻ EJ $\perp$ SC thì có EJ $\perp$ CH tại E nên Ẹ là đường vuông góc chung của DK và SC

Vậy khoảng cách giữa DK và SC là EJ

∆CEK $\sim$ ∆CBH $\Rightarrow \frac{CE}{CB}=\frac{CK}{CH}\Rightarrow CE=\frac{2a}{3}$

Mà $CH=\frac{3a}{2}\Rightarrow \frac{CE}{CH}=\frac{4}{9}$

Kẻ HI $\perp$ SC tại I ta có $EJ=\frac{4}{9}HI$

$\frac{1}{HI^{2}}=\frac{1}{SH^{2}}+\frac{1}{HC^{2}}=\frac{16}{9a^{2}}\Rightarrow HI=\frac{3a}{4}\Rightarrow EJ=\frac{a}{3}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK là $EJ=\frac{a}{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.