Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng (P) qua G và song song với mặt phẳng (ABCD) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại các điểm A’, B’, C’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDA’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.

Câu hỏi số 43495:

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 60⁰. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng (P) qua G và song song với mặt phẳng (ABCD) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại các điểm A’, B’, C’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDA’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.

A. V = $\frac{38\sqrt{3}a^3}{81}$ và R = $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

B. V = $\frac{38\sqrt{3}a^3}{82}$ và R = $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

C. V = $\frac{40\sqrt{3}a^3}{81}$ và R = $\frac{2a}{3}$

D. V = $\frac{38\sqrt{2}a^3}{81}$ và R = $\frac{2a}{3}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43495

Giải chi tiết

Gọi H = BD ∩ AC, AB = a√2 => BD = a√2.√2 = 2a

G là trọng tân tam giác.

Vì (P) // (ABCD) => B'D' // BD

Và A'B'C'D' là hình vuông => $\frac{B'D'}{BD}$ = $\frac{SG}{SH}$ = $\frac{2}{3}$

=> B'D' = $\frac{2}{3}$ BD = $\frac{4a}{3}$

=> A'B' = A'D' = $\frac{B'D'}{\sqrt{2}}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ a. (do A'B'C'D' là hình vuông nên tam giác A'B'D' vuông cân tại A')

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABCD)

=> góc giữa SA và (ABCD) là $\widehat{SAH}$ = 60^o

Trong tam giác vuông ABD có AH = $\frac{1}{2}$ BD = a

Xét tam giác SAH vuông tại H: SH = HA. tan60⁰= a√3 => SA = 2a

Ta có V_S.ABCD = $\frac{1}{3}$ . SH. S_ABCD = $\frac{1}{3}$ . a√3. a√2. a√2 = $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$

Ta có SG = $\frac{2}{3}$ SH = $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

V_S.A'B'C'D' = $\frac{1}{3}$ . SG. S_A'B'C'D' = $\frac{1}{3}$ . $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ . $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ a. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ a = $\frac{16\sqrt{3}a^3}{81}$

V_{ABCD.A'B'C'D'} = V_S.ABCD - V_S.A'B'C'D' = $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$ - $\frac{16\sqrt{3}a^3}{81}$ = $\frac{38\sqrt{3}a^3}{81}$

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Suy ra O ∈ SH => O ∈ (SBD) suy ra R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD mà SB = SD = BD = 2a

Suy ra tam giác SBD đều nên R = $\frac{2a}{2sin60^{o}}$ = $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.