Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông cân tại C với A(5; 3; -5), B(3; -1; -1). Lập phương trình đường thẳng d đi qua đỉnh C của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (P): 2x - 2y - z = 0 và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y

Câu hỏi số 43526:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông cân tại C với A(5; 3; -5), B(3; -1; -1). Lập phương trình đường thẳng d đi qua đỉnh C của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (P): 2x - 2y - z = 0 và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - 2z + 5 = 0 một góc 45⁰.

A. d₁: $\left\{\begin{matrix} x=2-5t & & \\ y=3+37t & & \\ z=-2-84t & & \end{matrix}\right.$ ; d₂: $\left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=3+t & & \\ z=2 & & \end{matrix}\right.$

B. d: $\left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=3+t & & \\ z=-2 & & \end{matrix}\right.$

C. d: $\left\{\begin{matrix} x=2-5t & & \\ y=3+37t & & \\ z=-2-84t & & \end{matrix}\right.$

D. d₁: $\left\{\begin{matrix} x=2-5t & & \\ y=3+37t & & \\ z=-2-84t & & \end{matrix}\right.$ ; d₂: $\left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=3+t & & \\ z=-2 & & \end{matrix}\right.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43526

Giải chi tiết

Vì d đi qua C và d ⊂ (P) nên C ∈ (P) suy ra C(x; y; 2x - 2y)

$\overrightarrow{AB}$ = (-2; -4; 4), $\overrightarrow{AC}$ = (x - 5; y - 3; 2x - 2y + 5),

$\overrightarrow{BC}$ = (x - 3; y + 1; 2x - 2y + 1)

Vì ∆ABC vuông cân tại C nên ta có: $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0 & & \\ AC=BC & & \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} (x-5)^{2}+(y-3)^{2}+(2x-2y+5)^{2}=(x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(2x-2y+1)^{2} & & \\ (x-5)(x-3)+(y-3)(y+1)+(2x-2y+5)(2x-2y+1)=0 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} 12x-24y=-48 & & \\ 5x^{2}+5y^{2}+4x-14y-8xy+17=0 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x-2y=-4 & & \\ 5x^{2} +5y^{2}+4x-14y-8xy+17=0& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x=2 & & \\ y=3 & & \end{matrix}\right.$

=> C(2; 3; -2)

Gọi $\overrightarrow{u}$ = (a, b, c) là vecto chỉ phương của d. Theo 2a - 2b - c = 0 (vì d ⊂ (P)) Ta có: $\overrightarrow{u_{d}}$ = (a; b; 2a - 2b)

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q) là:

sin45⁰= $\frac{|2a+b-2(2a-2b)|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+(2a-2b)^{2}.3}}$ ⇔ (5b - 2a)²= $\frac{9}{2}$ (5a²+ 5b²- 8ab) Chọn b = 1 ta có: $\left [\begin{matrix} a=1, c = 0 & & \\ a=-\frac{5}{37}, c = -\frac{84}{37} & & \end{matrix}$

Chọn $\overrightarrow{u}$ = (1; 1; 0) hoặc $\overrightarrow{u}$ = (-5; 37; -84).

Khi đó ta có hai đường thẳng thỏa mãn là:

d₁: $\left\{\begin{matrix} x=2-5t & & \\ y=3+37t & & \\ z=-2-84t & & \end{matrix}\right.$ ; d₂: $\left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=3+t & & \\ z=-2 & & \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.