Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD,$ biết phương trình chứa hai đường

Câu hỏi số 435930:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD,$ biết phương trình chứa hai đường chéo là ${d_1}:\,\,7x + y - 4 = 0$ và ${d_2}:\,\,x - y + 2 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật, biết đường thẳng đó đi qua điểm $M\left( { - 3;\,\,5} \right).$

A. $\left[ \begin{array}{l}3x - y - 14 = 0\\x + 3y + 12 = 0\end{array} \right.$

B. $\left[ \begin{array}{l}3x - y + 14 = 0\\x + 3y + 12 = 0\end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}3x - y + 14 = 0\\x + 3y - 12 = 0\end{array} \right.$

D. $\left[ \begin{array}{l}3x - y - 14 = 0\\x + 3y - 12 = 0\end{array} \right.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435930

Phương pháp giải

Tìm tâm $I$ của hình chữ nhật.
Lập phương trình đường thẳng $d$ chứa cạnh của hình chữ nhật đi qua $M(-3 ; 5)$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n}(a ; b)$.
Khi đó theo tính chất hình chữ nhật ta có: $\left|\cos \left(d ; d_1\right)\right|=\left|\cos \left(d ; d_2\right)\right|$.
Từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa $a, b$ và lập phương trình đường thẳng $d$ cần tìm.

Giải chi tiết

Tọa độ tâm I của hình chữ nhật là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}7 x+y-4=0 \\ x-y+2=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1}{4} \\ y=\dfrac{9}{4}\end{array} \Rightarrow I\left(\frac{1}{4} ; \dfrac{9}{4}\right)\right.\right.$

Gọi đường thẳng $d$ chứa cạnh của hình chữ nhật đi qua $M(-3 ; 5)$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n}(a ; b)$

$\Rightarrow d: a(x+3)+b(y-5)=0$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}d_1: 7 x+y-4=0 \\ d_2: x-y+2=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}=(7 ; 1) \\ \overrightarrow{n_2}=(1 ;-1)\end{array}\right.\right.$

Theo tính chất hình chữ nhật ta có: $\left|\cos \left(d ; d_1\right)\right|=\left|\cos \left(d ; d_2\right)\right|$

$\Leftrightarrow \frac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{n_1}\right|}{|\vec{n}| \cdot\left|\overrightarrow{n_1}\right|}=\dfrac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{|\vec{n}| \cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|} \Leftrightarrow \dfrac{|7 a+b|}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|a-b|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2+b^2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow |7a + b| = 5|a - b| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{7a + b = 5(a - b)}\\{7a + b = - 5(a - b)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{7a + b = 5a - 5b}\\{7a + b = - 5a + 5b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = - 6b}\\{12a = 4b}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 3b}\\{b = 3a}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

+) Với $a=-3 b \Rightarrow d:-3(x+3)+y-5=0 \Leftrightarrow 3 x-y+14=0$.
+) Với $b=3 a \Rightarrow d: x+3+3(y-5)=0 \Leftrightarrow x+3 y-12=0$.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.