Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD,$ biết phương trình chứa hai đường

Câu hỏi số 435930:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD,$ biết phương trình chứa hai đường chéo là ${d_1}:\,\,7x + y - 4 = 0$ và ${d_2}:\,\,x - y + 2 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật, biết đường thẳng đó đi qua điểm $M\left( { - 3;\,\,5} \right).$

A. $\left[ \begin{array}{l}3x - y - 14 = 0\\x + 3y + 12 = 0\end{array} \right.$

B. $\left[ \begin{array}{l}3x - y + 14 = 0\\x + 3y + 12 = 0\end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}3x - y + 14 = 0\\x + 3y - 12 = 0\end{array} \right.$

D. $\left[ \begin{array}{l}3x - y - 14 = 0\\x + 3y - 12 = 0\end{array} \right.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435930

Phương pháp giải

Tìm tâm $I$ của hình chữ nhật.
Lập phương trình đường thẳng $d$ chứa cạnh của hình chữ nhật đi qua $M(-3 ; 5)$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n}(a ; b)$.
Khi đó theo tính chất hình chữ nhật ta có: $\left|\cos \left(d ; d_1\right)\right|=\left|\cos \left(d ; d_2\right)\right|$.
Từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa $a, b$ và lập phương trình đường thẳng $d$ cần tìm.

Giải chi tiết

Tọa độ tâm I của hình chữ nhật là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}7 x+y-4=0 \\ x-y+2=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1}{4} \\ y=\dfrac{9}{4}\end{array} \Rightarrow I\left(\frac{1}{4} ; \dfrac{9}{4}\right)\right.\right.$

Gọi đường thẳng $d$ chứa cạnh của hình chữ nhật đi qua $M(-3 ; 5)$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n}(a ; b)$

$\Rightarrow d: a(x+3)+b(y-5)=0$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}d_1: 7 x+y-4=0 \\ d_2: x-y+2=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}=(7 ; 1) \\ \overrightarrow{n_2}=(1 ;-1)\end{array}\right.\right.$

Theo tính chất hình chữ nhật ta có: $\left|\cos \left(d ; d_1\right)\right|=\left|\cos \left(d ; d_2\right)\right|$

$\Leftrightarrow \frac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{n_1}\right|}{|\vec{n}| \cdot\left|\overrightarrow{n_1}\right|}=\dfrac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{|\vec{n}| \cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|} \Leftrightarrow \dfrac{|7 a+b|}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|a-b|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2+b^2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow |7a + b| = 5|a - b| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{7a + b = 5(a - b)}\\{7a + b = - 5(a - b)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{7a + b = 5a - 5b}\\{7a + b = - 5a + 5b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = - 6b}\\{12a = 4b}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 3b}\\{b = 3a}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

+) Với $a=-3 b \Rightarrow d:-3(x+3)+y-5=0 \Leftrightarrow 3 x-y+14=0$.
+) Với $b=3 a \Rightarrow d: x+3+3(y-5)=0 \Leftrightarrow x+3 y-12=0$.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10