Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với đáy. Mặt phẳng

Câu hỏi số 438769:

Vận dụng

Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với đáy. Mặt phẳng này chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau như hình vẽ.

Gọi \(\left( {{N_1}} \right)\) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy \(HM\); \(\left( {{N_2}} \right)\) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy \(OD\). Tỉ số thể tích của khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) và khối nón \(\left( {{N_2}} \right)\) là

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} \cdot \)

B. \(\dfrac{1}{8} \cdot \)

C. \(\dfrac{1}{2} \cdot \)

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{8} \cdot \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438769

Phương pháp giải

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

- Diện tích xung quanh mặt nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\) là \({S_{xq}} = \pi Rl\).

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {{N_1}} \right)}} = \dfrac{1}{3}\pi H{M^2}.AH\\{V_{\left( {{N_2}} \right)}} = \dfrac{1}{3}\pi O{D^2}.AO\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{V_{\left( {{N_1}} \right)}}}}{{{V_{\left( {{N_2}} \right)}}}} = {\left( {\dfrac{{HM}}{{OD}}} \right)^2}.\dfrac{{AH}}{{AO}}\).

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{xq\left( {{N_1}} \right)}} = \pi .HM.AM\\{S_{xq\left( {{N_2}} \right)}} = \pi .OD.AD\end{array} \right.\).

Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) chia hình nón thành 2 phần có diện tích bằng nhau nên ta có \({S_{xq\left( {{N_1}} \right)}} = \dfrac{1}{2}{S_{xq\left( {{N_2}} \right)}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{\pi .HM.AM}}{{\pi .OD.AD}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{HM}}{{OD}}.\dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HM}}{{OD}} = \dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AO}}\), do đó \({\left( {\dfrac{{HM}}{{OD}}} \right)^2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{HM}}{{OD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Khi đó ta có: \(\dfrac{{{V_{\left( {{N_1}} \right)}}}}{{{V_{\left( {{N_2}} \right)}}}} = {\left( {\dfrac{{HM}}{{OD}}} \right)^2}.\dfrac{{AH}}{{AO}} = {\left( {\dfrac{{HM}}{{OD}}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.