Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm

Câu hỏi số 439319:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\) là

A. \(\dfrac{{x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\).

B. \(\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\).

C. \(\dfrac{{{x^2} + 2x - 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\).

D. \(\dfrac{{2{x^2} + x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:439319

Phương pháp giải

+) Sử dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản để tính \(f'\left( x \right).\)

+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và phương pháp đổi biến để tính nguyên hàm của \(g\left( x \right).\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} \right)'\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 4} - \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{{x^2} + 4}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 4 - {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}.\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\) \( = xf'\left( x \right) + f'\left( x \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \int {xf'\left( x \right)dx} + \int {f'\left( x \right)dx} \\ = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx} + f\left( x \right)dx\\ = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx} + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}.\end{array}\)

Đặt \(I = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx} \)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 4} = t\)\( \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 4\) \( \Rightarrow xdx = tdt\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {\dfrac{{4tdt}}{{{t^3}}} = \int {\dfrac{4}{{{t^2}}}dt} = - \dfrac{4}{t} + C} \\ \Rightarrow I = - \dfrac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\\ \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = - \dfrac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.