Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1.\) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

Câu hỏi số 440847:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1.\) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) + m} \right|\) có giá trị nhỏ nhất không vượt quá \(5?\)

A. \(30\)

B. \(32\)

C. \(31\)

D. \(29\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:440847

Phương pháp giải

Áp dụng bổ đề: Cho hàm số \(f\left( x \right),\) liên tục trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,b} \right]} f\left( x \right) = A\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\,b} \right]} f\left( x \right) = B\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = ?\)

TH1: Nếu \(AB \le 0\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0.\)

TH2: Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = A.\)

TH3: Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}A < 0\\B < 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = - B.\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin x + \sqrt 3 \cos x\)

Ta có: \(t = 2\left( {\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) = 2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 2;\,\,2} \right].\)

Khi đó ta có: \(y = \left| {f\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) + m} \right| = \left| {{t^3} - 3{t^2} + 1 + m} \right|\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + m + 1\) trên \(\left[ { - 2;\,\,2} \right]\) ta được:

\(g'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t\) \( \Rightarrow g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 2} \right) = m - 19\\g\left( 0 \right) = m + 1\\g\left( 2 \right) = m - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left( t \right) = m - 19\\\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left( t \right) = m + 1\end{array} \right.\)

TH1: \(\left( {m + 1} \right)\left( {m - 19} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow - 1 \le m \le 19\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} \left| {g\left( t \right)} \right| = 0\)

\( \Rightarrow \) Có 21 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 19 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 19\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} \left| {g\left( t \right)} \right| = m - 19\)

\( \Rightarrow m - 19 \le 5 \Leftrightarrow m \le 24\) \( \Rightarrow 19 < m \le 24\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ {20;\,\,21;\,\,22;\,\,23;\,\,24} \right\}\)

\( \Rightarrow \) Có 5 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 19 < 0\\m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 1\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} \left| {g\left( t \right)} \right| = - \left( {m + 1} \right)\)

\( \Rightarrow - m - 1 \le 5 \Leftrightarrow m \ge - 6\) \( \Rightarrow - 6 \le m < - 1\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\)

\( \Rightarrow \) Có 5 giá trị thỏa mãn bài toán.

Vậy có: \(21 + 5 + 5 = 31\) giá trị thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.