Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 7} \right) - m\)

Câu hỏi số 440868:

Vận dụng

Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 7} \right) - m\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\), \({x_4}\). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \(\dfrac{1}{{1 - {x_1}}} + \dfrac{1}{{1 - {x_2}}} + \dfrac{1}{{1 - {x_3}}} + \dfrac{1}{{1 - {x_4}}} > 1\)?

A. \(9\)

B. \(8\)

C. \(6\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:440868

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Đặt ẩn phụ \(t = {x^2} \ge 0\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Để phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình bậc hai ẩn \(t\) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.

- Giả sử phương trình bậc hai ẩn \(t\) có 2 nghiệm dương phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\), suy ra 4 nghiệm \(x\), thay vào giả thiết, sau đó áp dụng định lí Vi-ét và giải bất phương trình.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 7} \right) - m\\y = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 7} \right) - m\\y = {x^4} - 8{x^2} + 7 - m\end{array}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} - 8{x^2} + 7 - m = 0\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - 8t + 7 - m = 0\,\,\left( {**} \right)\).

Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn ycbt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 16 - 7 + m > 0\\8 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\7 - m > 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9 < m < 7\\m \ne 0\end{array} \right.\)

Khi đó giả sử phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt \({t_1};\,\,{t_2}\) thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \({x_1} = - \sqrt {{t_1}} ;\,\,{x_2} = \sqrt {{t_1}} \); \({x_3} = - \sqrt {{t_2}} ;\,\,{x_4} = \sqrt {{t_2}} \).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{1 - {x_1}}} + \dfrac{1}{{1 - {x_2}}} + \dfrac{1}{{1 - {x_3}}} + \dfrac{1}{{1 - {x_4}}} > 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + \sqrt {{t_1}} }} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt {{t_1}} }} + \dfrac{1}{{1 + \sqrt {{t_2}} }} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt {{t_2}} }} > 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {{t_1}} + 1 + \sqrt {{t_1}} }}{{1 - {t_1}}} + \dfrac{{1 - \sqrt {{t_2}} + 1 + \sqrt {{t_2}} }}{{1 - {t_2}}} > 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{1 - {t_1}}} + \dfrac{2}{{1 - {t_2}}} > 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {1 - {t_2} + 1 - {t_1}} \right) - \left( {1 - {t_1} - {t_2} + {t_1}{t_2}} \right)}}{{1 - {t_1} - {t_2} + {t_1}t}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) - {t_1}{t_2}}}{{{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1}} > 0\end{array}\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 8\\{t_1}{t_2} = 7 - m\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \dfrac{{3 - 8 - 7 + m}}{{7 - m - 8 + 1}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m - 13}}{{ - m}} > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 13\).

Kết hợp điều kiện ta có \(0 < m < 7\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Vậy có \(6\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.