Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6. Tìm giá
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp đó.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi số đo của hình hộp chữ nhật là \(a,\,\,b,\,\,c\). Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) và thể tích khối hộp chữ nhật là \(V = abc\).
- Sử dụng hằng đẳng thức biểu diễn \(a + c\) theo \(b\).
- Tính thể tích theo biến \(b\), sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.
Gọi số đo của hình hộp chữ nhật là \(a,\,\,b,\,\,c\).
Khi đó ta có \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\) và độ dài đường chéo bằng 6 nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 36\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 36\\ab + bc + ca = 18\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 72\\ab + bc + ca = 18\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 6\sqrt 2 \\b\left( {a + c} \right) + ac = 18\end{array} \right.\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}V = abc = b\left[ {18 - b\left( {a + c} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = b\left[ {18 - b\left( {6\sqrt 2 - b} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = b\left[ {18 - 6\sqrt 2 b + {b^2}} \right]\\\,\,\,\,\, = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b = f\left( b \right)\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\sqrt 2 - b\\b\left( {6\sqrt 2 - b} \right) + ac = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\sqrt 2 - b\\ac = 18 + {b^2} - 6\sqrt 2 b\end{array} \right.\)
Để tồn tại \(a,\,\,c\) thì
\(\begin{array}{l}{S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 2 - b} \right)^2} \ge 4\left( {18 + {b^2} - 6\sqrt 2 b} \right)\\ \Leftrightarrow {b^2} - 12\sqrt 2 b + 72 \ge 72 + 4{b^2} - 24\sqrt 2 b\\ \Leftrightarrow 3{b^2} - 12\sqrt 2 b \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le b \le 4\sqrt 2 \end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( b \right) = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b\,\,\left( {0 < b \le 4\sqrt 2 } \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( b \right) = 3{b^2} - 12\sqrt 2 b + 18 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\sqrt 2 \\b = \sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\\f\left( {3\sqrt 2 } \right) = 0;\,\,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 8\sqrt 2 \end{array}\)
Ta có BBT:
Từ BBT \( \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left[ {0;4\sqrt 2 } \right]} f\left( b \right) = 8\sqrt 2 \).
Vậy \({V_{\max }} = 8\sqrt 2 \Leftrightarrow b = \sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
