Một hòn đảo ở vị trí \(C\) cách bờ biển \(d\) một khoảng \(BC = 4\)km. Trên bờ biển \(d\)

Câu hỏi số 444552:

Vận dụng

Một hòn đảo ở vị trí \(C\) cách bờ biển \(d\) một khoảng \(BC = 4\)km. Trên bờ biển \(d\) người ta xây một nhà máy điện tại vị trí \(A\). Để kéo đường dây điện ra ngoài đảo, người ta đặt một trụ điện ở vị trí \(S\) trên bờ biển (như hình vẽ). Biết rằng khoảng cách từ \(B\) đến \(A\) là 16 km, chi phí để lắp đặt mỗi km dây điện dưới nước là 20 triệu đồng và lắp đặt ở đất liền là 12 triệu đồng. Hỏi trụ điện cách nhà máy điện một khoảng bao nhiêu để chi phí lắp đặt thấp nhất?

A. \(16\,{\rm{km}}{\rm{.}}\)

B. \(3\,{\rm{km}}{\rm{.}}\)

C. \(4\,{\rm{km}}{\rm{.}}\)

D. \(13\,{\rm{km}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444552

Phương pháp giải

- Đặt \(SA = x\), lập hàm số chi phí lắp đặt \(f\left( x \right)\) theo biến \(x\).

- Tìm GTNN của hàm số \(f\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Đặt \(SA = x\,\,\left( {0 \le x \le 16} \right) \Rightarrow BS = 16 - x\)

Tam giác \(CBS\) vuông tại \(B\) nên \(CS = \sqrt {{4^2} + {{\left( {16 - x} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 32x + 272} \)

Khi đó :

+) Chi phí lắp đặt trên đất liền là \(12x\) (triệu)

+) Chi phí lắp đặt dưới nước là \(20\sqrt {{x^2} - 32x + 272} \) (triệu)

\( \Rightarrow \) Tổng chi phí lắp đặt là : \(f\left( x \right) = 12x + 20\sqrt {{x^2} - 32x + 272} \)

Có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 12 + 20.\frac{{2x - 32}}{{2\sqrt {{x^2} - 32x + 272} }}\\ = 12 + \frac{{20\left( {x - 16} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 32x + 272} }}\\ = \frac{{12\sqrt {{x^2} - 32x + 272} + 20\left( {x - 16} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 32x + 272} }}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12\sqrt {{x^2} - 32x + 272} + 20\left( {x - 16} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12\sqrt {{x^2} - 32x + 272} = - 20\left( {x - 16} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 20\left( {x - 16} \right) \ge 0\\144\left( {{x^2} - 32x + 272} \right) = 400{\left( {x - 16} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 16\\256{x^2} - 8192x + 63232 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 16\\\left[ \begin{array}{l}x = 19\\x = 13\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 13\end{array}\)

BBT :

Từ BBT ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đạt GTNN bằng \(256\) khi \(x = 13\).

Vậy \(SA = 13\left( {km} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.