Người ta thiết kế một chiếc thùng hình trụ có thể tích \(V\) cho trước. Biết rằng chi phí

Câu hỏi số 444553:

Vận dụng cao

Người ta thiết kế một chiếc thùng hình trụ có thể tích \(V\) cho trước. Biết rằng chi phí làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và gấp 3 lần chi phí làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi \(h,r\) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của thùng. Tỉ số \(\frac{h}{r}\) bằng bao nhiêu để chi phí sản xuất chiếc thùng đã cho thấp nhất?

A. \(\frac{h}{r} = 2.\)

B. \(\frac{h}{r} = 6.\)

C. \(\frac{h}{r} = 8.\)

D. \(\frac{h}{r} = 8.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444553

Phương pháp giải

- Từ công thức tính thể tích \(V = \pi {r^2}h\), rút \(h\) theo \(r\) và \(V\).

- Lập hàm số biểu thị chi phí sản xuất thùng \(f\left( r \right)\) và tìm GTNN của \(f\left( r \right)\).

Giải chi tiết

Ta có : \(V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Gọi \(A\) là chi phí làm đáy và nắp thì \(\frac{A}{3}\) là chi phí làm mặt xung quanh.

Diện tích đáy \({S_{day}} = \pi {r^2}\)

Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{V}{{\pi {r^2}}} = \frac{{2V}}{r}\)

+) Chi phí làm đáy và nắp là : \(A.2{S_{day}} = 2A\pi {r^2}\)

+) Chi phí làm mặt xung quanh là : \(\frac{A}{3}.{S_{xq}} = \frac{A}{3}.\frac{{2V}}{r} = \frac{{2AV}}{{3r}}\)

Tổng chi phí làm thùng là \(f\left( r \right) = 2A\pi {r^2} + \frac{{2AV}}{{3r}} = 2A\left( {\pi {r^2} + \frac{V}{{3r}}} \right)\)

Ap dụng BĐT Cô si ta có :

\(\begin{array}{l}\pi {r^2} + \frac{V}{{3r}} = \pi {r^2} + \frac{V}{{6r}} + \frac{V}{{6r}} \ge 3\sqrt[3]{{\pi {r^2}.\frac{V}{{6r}}.\frac{V}{{6r}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{{\pi {V^2}}}{{36}}}}\\ \Rightarrow f\left( r \right) \ge 2A.3\sqrt[3]{{\frac{{\pi {V^2}}}{{36}}}} = 6A\sqrt[3]{{\frac{{\pi {V^2}}}{{36}}}}\\ \Rightarrow \min f\left( r \right) = 6A\sqrt[3]{{\frac{{\pi {V^2}}}{{36}}}}\end{array}\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\pi {r^2} = \frac{V}{{6r}} \Leftrightarrow V = 6\pi {r^3}\)

Mà \(V = \pi {r^2}h \Rightarrow 6\pi {r^3} = \pi {r^2}h \Leftrightarrow h = 6r \Rightarrow \frac{h}{r} = 6\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.