Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực thỏa mãn điều kiện: \({a^2} + {b^2} = 2\left( {8 + ab} \right)\) và \(a

Câu hỏi số 447864:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực thỏa mãn điều kiện: \({a^2} + {b^2} = 2\left( {8 + ab} \right)\) và \(a < b\).

Tính giá trị của biểu thức: \(P = {a^2}\left( {a + 1} \right) - {b^2}\left( {b - 1} \right) + ab - 3ab\left( {a - b + 1} \right) - 64\)

A. \( - 112\)

B. \( 112\)

C. \( - 120\)

D. \( 120\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:447864

Phương pháp giải

+ Biến đổi \({a^2} + {b^2} = 2\left( {8 + ab} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 4\\a - b = - 4\end{array} \right.\).

Do \(a < b\) nên nhận giá trị \(a - b = - 4\).

+ Rút gọn \(P\) và đưa \(P\) về đa thức chứa lũy thừa của cơ số \(\left( {a - b} \right)\).

Giải chi tiết

Với \(a,\,\,b\) là hai số thực và \(a < b\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} = 2\left( {8 + ab} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 16 + 2ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} - {4^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b - 4} \right)\left( {a - b + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b - 4 = 0\\a - b + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 4\\a - b = - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(a < b\) nên \(a - b = - 4\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {a^2}\left( {a + 1} \right) - {b^2}\left( {b - 1} \right) + ab - 3ab\left( {a - b + 1} \right) - 64\\\,\,\,\,\, = {a^3} + {a^2} - {b^3} + {b^2} + ab - 3{a^2}b + 3a{b^2} - 3ab - 64\\\,\,\,\,\, = {a^3} + {a^2} - {b^3} + {b^2} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - 2ab - 64\\\,\,\,\,\, = \left( {{a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}} \right) + \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) - 64\\\,\,\,\,\, = {\left( {a - b} \right)^3} + {\left( {a - b} \right)^2} - 64\end{array}\)

Thay \(a - b = - 4\) vào \(P\) ta được: \(P = {\left( { - 4} \right)^3} + {\left( { - 4} \right)^2} - 64 = - 112\)

Vậy giá trị của biểu thức \(P\) bằng \( - 112\) khi \({a^2} + {b^2} = 2\left( {8 + ab} \right)\) và \(a < b\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link