Cho mặt cầu \(S\left( {O;\,\,r} \right),\) mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách tâm \(O\) một khoảng

Câu hỏi số 449945:

Thông hiểu

Cho mặt cầu \(S\left( {O;\,\,r} \right),\) mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách tâm \(O\) một khoảng bằng \(\dfrac{r}{2}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn. Hãy tính theo \(r\) chu vi của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right).\)

A. \(\pi r\)

B. \(\dfrac{{\pi r\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\pi r\sqrt 3 \)

D. \(\dfrac{{\pi r\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449945

Phương pháp giải

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R.\)

Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\,\left( P \right)} \right)} .\)

Chu vi của đường tròn bán kính \(r\) là: \(C = 2\pi r.\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \(d\left( {O;\,\,\left( P \right)} \right) = OH = \dfrac{r}{2}.\)

Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

\(HA = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} \) \( = \sqrt {{r^2} - {{\left( {\dfrac{r}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}.\)

\( \Rightarrow \) Chu vi đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(C = 2\pi .\dfrac{{r\sqrt 3 }}{2} = \pi r\sqrt 3 \,\,\left( {dvdd} \right).\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.