Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong

Câu hỏi số 449971:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

A. \(\dfrac{{a\sqrt {11} }}{4}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

C. \(\dfrac{{2a}}{3}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449971

Phương pháp giải

- Xác định giao điểm hai trục của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), chứng minh giao điểm đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\), \(H\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAB\).

Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH \bot AB\) và \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right);\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ đường \(d\) thẳng qua \(O\) và song song với \(SH\) \( \Rightarrow d\) là trục của \(\left( {ABCD} \right)\).

CMTT ta có \(OH \bot \left( {SAB} \right)\), kẻ đường thẳng \(d'\) đi qua \(G\) và song song với \(OH \Rightarrow d' \bot \left( {SAB} \right)\) tại \(G\) \( \Rightarrow d'\) là trục của \(\left( {SAB} \right)\).

Gọi \(I = d \cap d'\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in d \Rightarrow IA = IB = IC = ID\\I \in d' \Rightarrow IS = IA = IB\end{array} \right.\), do đó \(IS = IA = IB = IC = ID\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\), bán kính mặt cầu là \(R = IA\).

Dễ thấy \(IOHG\) là hình chữ nhật nên \(IO = HG = \dfrac{1}{3}SH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\), \(OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OIA\) có: \(IA = \sqrt {I{O^2} + O{A^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\) là \(R = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.