Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m\), có đồ thị \(\left( C \right)\) với \(m\) là tham số thực. Gọi

Câu hỏi số 449977:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m\), có đồ thị \(\left( C \right)\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \(A\) là điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) có hoành độ bằng \(1\). Tìm \(m\) để tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt đường tròn \(\left( \gamma \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

A. \( - \dfrac{{15}}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{17}}{{16}}\)

C. \(\dfrac{{15}}{{16}}\)

D. \( - \dfrac{{17}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449977

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ điểm \(A\), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(A\).

- Tìm điểm cố định mà \(\Delta \) đi qua với mọi \(m\).

- Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( \gamma \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\).

- Biện luận: Để \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( \gamma \right)\) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\Delta } \right)\) phải lớn nhất. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên tìm GTLN của \(d\left( {I;\Delta } \right)\), từ đó tìm \(m\).

Giải chi tiết

Vì \(A \in \left( C \right)\) và \(A\) có hoành độ bằng \(1\) nên ta có \(A\left( {1;1 - m} \right)\).

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4 - 4m\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) là: \(y = \left( {4 - 4m} \right)\left( {x - 1} \right) + 1 - m \Leftrightarrow \left( {4 - 4m} \right)x - y - 3 + 3m = 0\,\,\,\left( \Delta \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( \Delta \right):\,\,\,\,\left( {4 - 4m} \right)x - y - 3 + 3m = 0\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left( { - 4x + 3} \right)m + 4x - y - 3 = 0\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 3 = 0\\4x - y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\Delta \) luôn đi qua điểm \(F\left( {\dfrac{3}{4};0} \right)\,\,\forall m\).

Đường tròn \(\left( \gamma \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {1;1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Để \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( \gamma \right)\) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\Delta } \right)\) phải lớn nhất.

Ta có: \(d\left( {I;\Delta } \right) \le IF\) (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).

\( \Rightarrow d{\left( {I;\Delta } \right)_{\max }} = IF \Leftrightarrow IF \bot \Delta \).

Ta có: \(\overrightarrow {IF} = \left( { - \dfrac{1}{4}; - 1} \right);\,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;4 - 4m} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {IF} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow - \dfrac{1}{4}.1 - 1.\left( {4 - 4m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{{16}}\).

Vậy để \(\Delta \) cắt đường tròn \(\left( \gamma \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì \(m = \dfrac{{17}}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.