Ông X muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích \(72{m^3}\). Đáy làm bằng bêtông giá 100

Câu hỏi số 449976:

Vận dụng cao

Ông X muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích \(72{m^3}\). Đáy làm bằng bêtông giá 100 nghìn đồng/\({m^2}\), thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/\({m^2}\), nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/\({m^2}\). Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?

A. \(\dfrac{{3\sqrt[3]{3}}}{{2\sqrt[3]{\pi }}}\,\,\left( m \right)\)

B. \(\dfrac{3}{{\sqrt[3]{\pi }}}\,\,\left( m \right)\)

C. \(\dfrac{2}{{\sqrt[3]{\pi }}}\,\,\left( m \right)\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt[3]{\pi }}}\,\,\left( m \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449976

Phương pháp giải

- Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(r,\,\,h\,\,\left( m \right)\,\,\left( {r,\,\,h > 0} \right)\). Từ thể tích của hình trụ rút \(h\) theo \(r\).

- Tính diện tích xung quanh và diện tích đáy, diện tích nắp của hình trụ.

- Dựa vào giá tiền từng bộ phận đề bài đã cho, tính tổng chi phí.

- Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm \(a,\,\,b,\,\,c\): \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\) để tìm chi phí nhỏ nhất, từ đó tìm được \(r\).

Giải chi tiết

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(r,\,\,h\,\,\left( m \right)\,\,\left( {r,\,\,h > 0} \right)\).

Vì thể tích hình trụ là \(72{m^3}\) nên ta có \(\pi {r^2}h = 72 \Leftrightarrow h = \dfrac{{72}}{{\pi {r^2}}}\).

Diện tích thành (diện tích xung quanh) hình trụ là \(2\pi rh = 2\pi r.\dfrac{{72}}{{\pi {r^2}}} = \dfrac{{144}}{r}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích đáy và nắp hình trụ là \(\pi {r^2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Chi phí là: \(90.\dfrac{{144}}{r} + 100\pi {r^2} + 140\pi {r^2} = 240\left( {\dfrac{{54}}{r} + \pi {r^2}} \right)\) (nghìn đồng).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\dfrac{{54}}{r} + \pi {r^2} = \dfrac{{27}}{r} + \dfrac{{27}}{r} + \pi {r^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{27}}{r} + \dfrac{{27}}{r} + \pi {r^2}}} = 27\sqrt[3]{\pi }\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{27}}{r} = \pi {r^2} \Leftrightarrow {r^3} = \dfrac{{27}}{\pi } \Leftrightarrow r = \dfrac{3}{{\sqrt[3]{\pi }}}\,\,\left( m \right)\).

Vậy chi phí thấp nhất đạt được khi bán kính đáy hình trụ là \(\dfrac{3}{{\sqrt[3]{\pi }}}\,\,\left( m \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.