Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {m;n} \right)\) sao cho \(m + n \le 16\) và ứng với mỗi cặp \(\left( {m;n} \right)\) tồn tại đúng ba số thực \(a \in \left( { - 1;1} \right)\) thỏa mãn \(2{a^m} = n\ln \left( {a + \sqrt {{a^2} + 1} } \right)\)?
Câu 451130: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {m;n} \right)\) sao cho \(m + n \le 16\) và ứng với mỗi cặp \(\left( {m;n} \right)\) tồn tại đúng ba số thực \(a \in \left( { - 1;1} \right)\) thỏa mãn \(2{a^m} = n\ln \left( {a + \sqrt {{a^2} + 1} } \right)\)?
A. \(16\)
B. \(14\)
C. \(15\)
D. \(13\)
Quảng cáo
-
Đáp án : D(13) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{n}.{x^m} - \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) trên \(\left( { - 1;1} \right)\)
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2m}}{n}{x^{m - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0\).
Theo đề bài \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm nên \(\dfrac{{2m}}{n}{x^{m - 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) có ít nhất hai nghiệm.
Xét đồ thị hàm số \(y = {x^{m - 1}}\); \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), suy ra \(m - 1\) chẵn và \(m - 1 > 0.\)
Suy ra \(m \in \left\{ {3; \ldots ;15} \right\}\). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} < 0}\\{{x_2} > 0}\end{array}} \right.\).
BBT:
Phương trình có 3 nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) > 0}\\{f\left( { - 1} \right) < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{n} > \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}\\{ - \dfrac{2}{n} < \ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow n \le 2 \Rightarrow n \in \left\{ {1;2} \right\}\).
Với \(n = 3 \Rightarrow 13\) có 12 cặp thỏa mãn.
Với \(n = 15 \Rightarrow m = 1\) có 1 cặp thỏa mãn.
Vậy tổng cộng có 13 cặp số thỏa mãn.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
