Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {m;n} \right)\) sao cho \(m + n \le 16\) và ứng với mỗi cặp

Câu hỏi số 451130:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {m;n} \right)\) sao cho \(m + n \le 16\) và ứng với mỗi cặp \(\left( {m;n} \right)\) tồn tại đúng ba số thực \(a \in \left( { - 1;1} \right)\) thỏa mãn \(2{a^m} = n\ln \left( {a + \sqrt {{a^2} + 1} } \right)\)?

A. \(16\)

B. \(14\)

C. \(15\)

D. \(13\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451130

Giải chi tiết

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{n}.{x^m} - \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) trên \(\left( { - 1;1} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2m}}{n}{x^{m - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0\).

Theo đề bài \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm nên \(\dfrac{{2m}}{n}{x^{m - 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) có ít nhất hai nghiệm.

Xét đồ thị hàm số \(y = {x^{m - 1}}\); \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), suy ra \(m - 1\) chẵn và \(m - 1 > 0.\)

Suy ra \(m \in \left\{ {3; \ldots ;15} \right\}\). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} < 0}\\{{x_2} > 0}\end{array}} \right.\).

BBT:

Phương trình có 3 nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) > 0}\\{f\left( { - 1} \right) < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{n} > \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}\\{ - \dfrac{2}{n} < \ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow n \le 2 \Rightarrow n \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Với \(n = 3 \Rightarrow 13\) có 12 cặp thỏa mãn.

Với \(n = 15 \Rightarrow m = 1\) có 1 cặp thỏa mãn.

Vậy tổng cộng có 13 cặp số thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.