Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(6f\left( {{x^2} - 4x} \right) = m\) có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

Câu 451131: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(6f\left( {{x^2} - 4x} \right) = m\) có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

A. \(25\)

B. \(30\)

C. \(29\)

D. \(24\)

Câu hỏi : 451131

Quảng cáo

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2} - 4x\). Ta có: \(t' = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\).

Bảng biến thiên trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Cách 1:

Với \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\mathop \cup \nolimits^ \left\{ { - 4} \right\}\) thì 1 giá trị của \(t\) cho 1 nghiệm \(x > 0\).

Với \(t \in \left( { - 4;0} \right)\) thì 1 giá trị của \(t\) cho 2 nghiệm \(x > 0\).

Phương trình trở thành \(f\left( t \right) = \dfrac{m}{6}\).

Để phương trình có ít nhất 3 nghiệm dương phân biệt thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì điều kiện cần là phương trình \(f\left( t \right) = \dfrac{m}{6}\) có ít nhất hai nghiệm \(t\) thuộc nửa khoảng \(\left[ { - 4; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow - 3 < \dfrac{m}{6} \le 2\).

Với \( - 3 < \dfrac{m}{6} < - 2\) thì phương trình \(f\left( t \right) = \dfrac{m}{6}\) có hai nghiệm \({t_1},{t_2}\) với \({t_1} \in \left( { - 2;0} \right)\) và \({t_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên phương trình \(6f\left( {{x^2} - 4x} \right) = m\) có 3 nghiệm \(x > 0\) phân biệt (thỏa mãn).

Với \(\dfrac{m}{6} = - 2\) thì phương trình \(f\left( t \right) = \dfrac{m}{6}\) có 3 nghiệm \({t_1};{t_2};{t_3}\) với \({t_3} = - 4\), \({t_1} \in \left( { - 2;0} \right)\) và \({t_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên phương trình \(6f\left( {{x^2} - 4x} \right) = m\) có 4 nghiệm \(x > 0\) phân biệt (thỏa mãn).

Với \( - 2 < \dfrac{m}{6} < 2\) thì phương trình \(f\left( t \right) = \dfrac{m}{6}\) có 3 nghiệm \({t_1};{t_2};{t_3}\) trong đó \({t_1};{t_2} \in \left( { - 4;0} \right)\) và \({t_3} \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên phương trình \(6f\left( {{x^2} - 4x} \right) = m\) có 5 nghiệm \(x > 0\) phân biệt (thỏa mãn).

Với \(\dfrac{m}{6} = 2\) thì phương trình \(f\left( t \right) = \dfrac{m}{6}\) có 2 nghiệm \({t_1};{t_2}\) với \({t_1} = - 2\) và \({t_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên phương trình \(6f\left( {{x^2} - 4x} \right) = m\) có 3 nghiệm \(x > 0\) phân biệt (thỏa mãn).

Vậy \( - 3 < \dfrac{m}{6} \le 2 \Leftrightarrow - 18 < m \le 12\).

Vì \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 17; - 16; \ldots ;12} \right\}\). Do đó có \(30\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Cách 2:

Đặt \(t = {x^2} - 4x\)

Dựa vào BBT ta có \( - 3 < \dfrac{m}{6} \le 2 \Leftrightarrow - 18 < m \le 12\).

Vì \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 17; - 16; \ldots ;12} \right\}\). Do đó có \(30\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.