Cho hai số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a \ge b > 1\). Biết rằng biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{{\log

Câu hỏi số 451132:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a \ge b > 1\). Biết rằng biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \sqrt {{{\log }_a}\dfrac{a}{b}} \) đạt giá trị lớn nhất khi có số thực \(k\) sao cho \(b = {a^k}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(0 < k < \dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{1}{2} < k < 1\)

C. \( - 1 < k < - \dfrac{1}{2}\)

D. \( - \dfrac{1}{2} < k < 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451132

Phương pháp giải

- Sử dụng các công thức \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}};\,\,{\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\) (các biểu thức có nghĩa).

- Đặt \(t = \sqrt {1 - {{\log }_a}b} \), đưa biểu thức về dạng hàm đa thức ẩn \(t\). Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của hàm số.

Giải chi tiết

Với \(a \ge b > 1\) ta có \(\dfrac{a}{b} \ge 1 \Rightarrow {\log _a}\dfrac{a}{b} \ge {\log _a}1 = 0\). Do đó hàm số xác định với mọi \(a \ge b > 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \sqrt {{{\log }_a}\dfrac{a}{b}} \\P = {\log _a}ab + \sqrt {1 - {{\log }_a}b} \\P = 1 + {\log _a}b + \sqrt {1 - {{\log }_a}b} \end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {1 - {{\log }_a}b} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó ta có: \({t^2} = 1 - {\log _a}b \Rightarrow {\log _a}b = 1 - {t^2}\).

Ta có: \(P = 1 + 1 - {t^2} + t = - {t^2} + t + 2\) với \(t \ge 0\).

Ta có \(P' = - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

\( \Rightarrow {P_{\max }} = P\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{9}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {1 - {{\log }_a}b} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 1 - {\log _a}b = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {\log _a}b = \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow {a^{\dfrac{3}{4}}} = b\end{array}\)

Vậy \(k = \dfrac{3}{4} \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\) .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.