Cho hai số thực \(a > 1,\,\,b > 1\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S =

Câu hỏi số 451133:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(a > 1,\,\,b > 1\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\) là \(\dfrac{m}{n}\) với \(m,\,\,n\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Tính \(P = 2m + 3n\).

A. \(P = 30\)

B. \(P = 42\)

C. \(P = 24\)

D. \(P = 35\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451133

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức \(\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a\), \({\log _a}{b^m} = m{\log _a}b\), \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) (các công thức có nghĩa).

Đặt ẩn phụ \(t = {\log _a}b > 0\), đưa hàm số \(S\) về ẩn \(t\) và tìm GTNN bằng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\\S = {\log _a}ab + {\log _b}\sqrt[4]{{ab}}\\S = 1 + {\log _a}b + \dfrac{1}{4}\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)\\S = {\log _a}b + \dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}} + \dfrac{5}{4}\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _a}b > {\log _a}1 = 0\), ta có \(S = t + \dfrac{1}{{4t}} + \dfrac{5}{4}\).

Ta có \(S' = 1 - \dfrac{1}{{4{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow 4{t^2} = 1 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\).

Khi đó ta có \({S_{\min }} = S\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{9}{4} = \dfrac{m}{n} \Rightarrow m = 9;\,\,n = 4\).

Vậy \(P = 2m + 3n = 2.9 + 3.4 = 30\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.