Số nghiệm của phương trình \({5.5^{ - 2{{\sin }^2}x}} + {4.5^{\cos 2x}} = {25^{\frac{1}{2}\sin 2x}}\) trên

Câu hỏi số 451287:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình \({5.5^{ - 2{{\sin }^2}x}} + {4.5^{\cos 2x}} = {25^{\frac{1}{2}\sin 2x}}\) trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451287

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức: \(1 - 2{\sin ^2}x = \cos 2x\).

- Đưa phương trình đã cho về cùng cơ số, giải phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

- Giải phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\) bằng cách chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), tìm số nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{5.5^{ - 2{{\sin }^2}x}} + {4.5^{\cos 2x}} = {25^{\frac{1}{2}\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow {5^{1 - 2{{\sin }^2}x}} + {4.5^{\cos 2x}} = {5^{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow {5^{\cos 2x}} + {4.5^{\cos 2x}} = {5^{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow {5.5^{\cos 2x}} = {5^{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow {5^{1 + \cos 2x}} = {5^{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow 1 + \cos 2x = \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin 2x\cos \dfrac{\pi }{4} - \cos 2x\sin \dfrac{\pi }{4} = \sin \dfrac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) có 2 nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là \(x = \dfrac{\pi }{4};\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{4}\).

Họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) có 2 nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là \(x = \dfrac{\pi }{2};\,\,x = \dfrac{{3\pi }}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.