Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy +yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x3+y3+z3).(++).

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 456:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy +yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x³+y³+z³).( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ ).

A. Giá trị nhỏ nhất của P = -25

B. Giá trị nhỏ nhất của P = 24

C. Giá trị nhỏ nhất của P = -24

D. Giá trị nhỏ nhất của P = 25

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:456

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix}y+z=4-x\\yz=5-x(4-x))\end{matrix}\right.$

Suy ra (4-x)² ≥ 4[5 - x(4 - x)] ⇔ 3x²- 8x + 4 ≤ 0⇔ $\frac{2}{3}$ ≤ x ≤ 2.

Mặt khác (x³ +y³ +z³) = (x+y+z).(x² +y² +z²-xy-yz-zx) + 3xy

= 4((x+y+z)²- 3(xy+yz+zx) + 3xyz = 4 + 3xyz

Suy ra P = (4 + 3xyz). $\frac{xy+yz+zx}{xyz}$ = $\frac{20}{xyz}$ + 15 = $\frac{20}{x^{3}-4x^{2}+5x}$ +15

Xét hàm f(x) = x³- 4x²+ 5x trên $\begin{bmatrix}\frac{2}{3},2\end{bmatrix}$ ta có

f'(x) = 3x² - 8x + 5, f'(x) = 0 ⇔ x = 1, x = $\frac{5}{3}$

và f(1) = f(2) = 2, f( $\frac{2}{3}$ ) = $\frac{5}{27}$ , f( $\frac{5}{3}$ ) = $\frac{50}{27}$

Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ $\begin{bmatrix}\frac{2}{3},2\end{bmatrix}$ . Do đó P ≥ 25

Dấu đẳng thức xáy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.