Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng góc giữa CA' và (ABCD) bằng 300 .Góc giữa (A'BC) và (ABCD) bằng 450 và khoảng cách từ C' đến (A'CD) bằng a. Tính thể tích khối hộp đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA'DE, trong đó E là trung điểm của CD.

Câu hỏi số 450:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng góc giữa CA' và (ABCD) bằng 30⁰.Góc giữa (A'BC) và (ABCD) bằng 45⁰và khoảng cách từ C' đến (A'CD) bằng a. Tính thể tích khối hộp đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA'DE, trong đó E là trung điểm của CD.

A. V_{ABCD.A’B’C’D’}= $\frac{4a^{3}\sqrt{3}}{2}$ , R= $\frac{5a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}$

B. V_{ABCD.A’B’C’D’}= $\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{2}$ , R= $\frac{a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}$

C. V_{ABCD.A’B’C’D’}= $\frac{2a^{3}\sqrt{3}}{2}$ , R= $\frac{2a\sqrt{39}}{3\sqrt{2}}$

D. V_{ABCD.A’B’C’D’}= $\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{2}$ , R= $\frac{a\sqrt{39}}{3\sqrt{2}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:450

Giải chi tiết

Vì AA'⊥(ABCD) nên $\widehat{(CA',(ABCD))}$ = $\widehat{A'CA}$ = 30⁰

Vì AA'⊥(ABCD) và AB⊥BC nên $\widehat{((A'BC),(ABCD))}$ = $\widehat{A'BA}$ =45⁰

Ta có d(C',(A'CD))=d(D',(A'CD))=d(A,(A'CD))=d(A,(A'CD))=AH,

Trong đó H là hình chiếu của A lên A'D.

Đặt AA'=x. Trong đó tam giác A'AB vuông tại A, có $\widehat{A'BA}$ =45⁰suy ra AB=x

Trong tam giác A'CA vuông tại A, có $\widehat{A'CA}$ =30⁰suy ra AC = x√3.

Khi đó AD=BC= $\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{3x^{2}-x^{2}}$ = x√2.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác A'AD vuông tại A, có đường cao AH ta được

$\frac{1}{AH^{2}}$ = $\frac{1}{AA'^{2}}$ + $\frac{1}{AD^{2}}$ ⇔ $\frac{1}{a^{2}}$ = $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{2x^{2}}$ => x= $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy V_{ABCD.A’B’C’D’}= $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . $\frac{a\sqrt{12}}{2}$ = $\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{2}$ (đvtt).

Ta thấy $\widehat{A'DE}$ = $\widehat{A'AE}$ = 90⁰nên tứ diện AA'DE nôị tiếp mặt cầu đường kính A'E.

Khi đó mặt cầu này có bán kính là R = $\frac{1}{2}$ A'E = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{A'D^{2}+DE^{2}}$

= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{A'A^{2}+AD^{2}+DE^{2}}$ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{3a^{2}}{2}+3a^{2}+\frac{3a^{2}}{8}}$ = $\frac{a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.