Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.

Câu hỏi số 45685:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30⁰. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.

A. V_S.ABCD = $\frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$ (đvtt); d(ED, SC) = $\frac{\sqrt{38}}{20}$

B. V_S.ABCD = $\frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$ (đvtt); d(ED, SC) = $\frac{\sqrt{38}}{19}$

C. V_S.ABCD = $\frac{\sqrt{2}a^{3}}{3}$ (đvtt); d(ED, SC) = $\frac{\sqrt{38}}{19}$

D. V_S.ABCD = $\frac{\sqrt{2}a^{3}}{3}$ (đvtt); d(ED, SC) = $\frac{\sqrt{38}}{20}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:45685

Giải chi tiết

Vì CB ⊥ AB và CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAB)

=> SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)

=> $\left ( \widehat{SC,(SAB)} \right )$ = $\left ( \widehat{SC,SB} \right )$

=> $\widehat{CSB}$ = 30⁰.

=> SB = BC.cot30⁰= a√3

=> SA = a√2

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

V_S.ABCD = $\frac{1}{3}$ SA.S_ABCD = $\frac{1}{3}$ a√2.a² = $\frac{\sqrt{2}a^{3}}{3}$ (đvtt)

Từ C dựng CI // DE => CE = DI = $\frac{a}{2}$ và DE // (SCI)

=> d(DE, SC) = d(DE, (SCI))

Từ A kẻ AK ⊥ CI cắt ED tại H, cắt CI tại K

Ta có: SA ⊥ CI và AK ⊥ CI => CI ⊥ (SAK) => (SCI) ⊥ (SAK) theo giao tuyến SK

Trong mặt phẳng (SAK) kẻ HT ⊥ AK => HT ⊥ (SCI)

=> d(DE, SC) = d(H, (SCI)) = HT

Ta có: S_ACI = $\frac{1}{2}$ AK.CI = $\frac{1}{2}$ CD.AI => AK = $\frac{CD.AI}{CI}$ = $\frac{a\frac{3}{2}a}{\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}}$ = $\frac{3a}{\sqrt{5}}$

Kẻ KM // AD (M ∈ ED) => $\frac{HK}{HA}$ = $\frac{KM}{AD}$ = $\frac{1}{2}$ => HK = $\frac{1}{3}$ AK = $\frac{a}{\sqrt{5}}$

Lại có: sin $\widehat{SKA}$ = $\frac{SA}{SK}$ = $\frac{HT}{HK}$ => HT = $\frac{SA.HK}{SK}$

= $\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{38}}{19}$

Vậy d(ED, SC) = $\frac{\sqrt{38}}{19}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.