Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( { - 1;1;3}

Câu hỏi số 457163:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( { - 1;1;3} \right)\), \(C\left( {3;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z + 1 = 0\). Biết rằng điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\) bằng:

A. \( - 1\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:457163

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Phân tích \(M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) theo \(MI\).

- Chứng minh đó \(M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Với \(I\) cố định, tìm vị trí của \(M \in \left( P \right)\) để \(I{M_{\min }}\).

- Tìm tọa độ điểm \(I\), từ đó dựa vào mối quan hệ giữa \(IM\) và \(\left( P \right)\) để tìm tọa độ điểm \(M\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\\ = {\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right) + {\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {IB} ^2} - {\overrightarrow {IC} ^2}\\ = 2M{I^2} + \left( {I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}} \right)\end{array}\)

Vì \(I,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cố định nên \(I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}\) không đổi, do đó \(M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Mà \(M \in \left( P \right)\) nên \(IM\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\left( P \right)\) hay \(IM \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} \) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\) cùng phương, với \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 vtpt của \(\left( P \right)\).

Tìm tọa độ điểm \(I\) ta gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \left( {x - 1;y;z - 2} \right) + 2\left( {x + 1;y - 1;z - 3} \right) - \left( {x - 3;y - 2;z} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 + 2\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\y + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0\\z - 2 + 2\left( {z - 3} \right) - z = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\2y = 0\\2z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\\z = 4\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 2;0;4} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {a + 2;b;c - 4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {IM} \) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\) cùng phương, lại có \(M \in \left( P \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a + 2}}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{{c - 4}}{{ - 2}}\\a + 2b - 2c + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b + 4 = 0\\b + c - 4 = 0\\a + 2b - 2c + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(a + b + c = - 1 + 2 + 2 = 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.